Aloha :)
Schreibe die Abbildung mit Hilfe einer Abbildungsmatrix \(A\):$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\mapsto\binom{2x_1+x_3}{2x_1-x_2}=\binom{2}{2}x_1+\binom{0}{-1}x_2+\binom{1}{0}x_3=\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 1\\2 & -1 & 0\end{array}\right)}_{\eqqcolon A}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$Da wir eine Abbildungsmatrix \(A\) angeben können, ist die Abbildung linear.
Der Kern enthält alle Vektoren, die von der Abbildung \(A\) auf \(\vec 0\) abgebildet werden:$$\begin{array}{rrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Operation}\\\hline 2 & 0 & 1 & 0 &\\2 & -1 & 0 & 0 &-\text{Zeile 1}\\\hline 2 & 0 & 1 & 0 &\Rightarrow 2x_1+x_3=0\\0 & -1 & -1 & 0 &\Rightarrow -x_2-x_3=0\end{array}$$Die beiden erhaltenen Koordinatengleichungen formen wir etwas um:$$x_1=-\frac12\,x_3\quad;\quad x_2=-x_3$$um alle Vektoren des Kerns angeben zu können:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac12x_3\\[1ex]-x_3\\[1ex]x_3\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}-\frac12\\[1ex]-1\\[1ex]1\end{pmatrix}=-\frac{x_3}{2}\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$$Da \(x_3\) frei wählbar ist, enthält der Kern alle Vektoren, die zu \((1|2|-2)^T\) kollinear sind:$$\text{Kern}(A)=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$$
Das Bild ergibt sich aus den linear unabhängigen Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix, das sind \(\binom{1}{0}\) und \(\binom{0}{-1}\). Skalieren wir den zweiten Vektor noch mit \((-1)\), erhalten wir die Standard-Basis des \(\mathbb R^2\):$$\text{Bild}(A)=\left(\binom{1}{0},\binom{0}{1}\right)$$
