Grenzwert bestimmen ausgehend von einer Funktion

Question

Aufgabe:

Ich muss hier ausgehend von \( \mathrm{e}^{x}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \) den Grenzwert bestimmen

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}-\left(\frac{1}{n}+1\right)^{n / 3} . \)

Problem/Ansatz:

Hallöle allerseits,

Kann mir jemand eine eine mögliche Lösung zeigen?, ich hab leider mein Lösungsheft vergessen... ich dulli

Answer 1

Aloha :)

$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(-\left(\frac1n+1\right)^{n/3}\right)=-\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n/3}=-\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\frac13}{\frac n3}\right)^{n/3}=-e^{1/3}=-\sqrt[3]{e}$$

Comments

Ohje das ging ja schnell und traurigerweise lag ich falsch aber konnte sogar recht schnell den Fehler finden Thank you :)

Answer 2

Wegen der Stetigkeit von \(x\mapsto -x^{1/3}\) ist

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}-\left(\frac{1}{n}+1\right)^{n / 3} =-(\lim (1+\frac{1}{n})^n)^{1/3}=-\sqrt[3]{e}. \)