Bestimmen Sie sämtliche Polstellen der Funktion

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie sämtliche Polstellen der Funktion \( f \) mit

\( \displaystyle f(x)=\frac{(x+3)^{2}}{(x-1)^{2}(x-4)} . \)

Geben Sie jeweils an, ob es sich um eine Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel handelt.

Problem/Ansatz:

Hallöle allerseits,
Kann mir wer eine Lösung zwecks den Vorzeichenwechsel zeigen, Ich die definitionslücke bereits ausgerechnetg, also die Nullstellen eines Nenners... {1;4}

Aber ehrlich gesagt habe ich die Regeln nichtmehr im Kopf wie ich das mit dem VZW herausfinden kann. Kann mir das wer bitte erklären?

Answer 1

Aloha :)

Polstellen findest du dort, wo der Nenner \(=0\) und der Zähler \(\ne0\) ist. Bei$$f(x)=\frac{(x+3)^2}{(x-1)^2(x-4)}$$ist das bei \(x=1\) und bei \(x=4\) der Fall.

Bei \(x=1\) ändert sich wegen des Quadrates bei \((x-1)^2\) das Vorzeichen des Nenners nicht, wenn man sich von links \((x\nearrow1)\) oder von rechts \((x\searrow1)\) der \(1\) nähert, z.B. ist \((0,99-1)^2=(1,01-1)^2\). Daher handelt es sich bei \(x=1\) und eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Bei \(x=4\) sieht es anders aus. Nähern wir uns der \(4\) von links \((x\nearrow4)\) ist \((x-4)<0\). Nähern wir uns von rechts \((x\searrow4)\) ist \((x-4)>0\). Daher liegt bei \(x=4\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

~plot~ (x+3)^2/((x-1)^2*(x-4)) ; [[-2|6|-30|30]] ~plot~