Wie berechnet man die Monotonie einer Funktion mit Parametern?

Question

Aufgabe:

Ich muss rechnerisch(!) bestimmen, in welchem Intervall der Funktion welche Monotonie vorliegt: f(x)=((x^4)/2)-(a^2)(x^2)

Problem/Ansatz:

Normal muss ja erst die 1. Ableitung gebildet werden und infolgedessen deren Nullstellen berechnet werden. Dies habe ich soweit getan: x1=0 oder x2=a oder x3=-a

Nun müsste ich ja mit Hilfe der 1. Ableitung den Wechsel der Vorzeichen überprüfen, indem ich z.B. 0,1 für x einsetze. Das Problem ist allerdings, dass ein Parameter in der Funktion vorliegt und das Ergebnis von a abhängt und somit nicht eindeutig ist, da bei dem Einsätzen einer kleineren Zahl das Vorzeichen bspw. positiv ist und bei einer größeren Zahl negativ, weshalb nicht genau gesagt werden kann, wo und wann welche Monotonie vorliegt.

Kann mir jemand dabei helfen, wie man das konkret rechnerisch mit meinem Ansatz macht?

Vielen Dank :)

Answer 1

Ist \(a>0\), gilt \(-a < 0 < a\). Ist \(a<0\), gilt \(a < 0 < -a\). Ist \(a=0\), dann ist dies der einzige Extremstellenkandidat. In allen drei Fällen kannst du das Vorzeichenwechselkriterium verwenden.

Einfacher ist eine Argumentation über den Verlauf, die Kurve beschreibt für \(a\ne 0\) eine W-Form.

Comments

Man kann im Funktionsterm auch \(a\) durch \(\left|a\right|\) ersetzen. Dies ändert nichts an der Funktion, aber jetzt gilt für \(a\ne 0\) die bequemere Beziehung $$-\left| a \right| \lt 0 \lt +\left| a \right|$$

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Wie mache ich dann das VZW-Kriterium? Z.B. bei a>0 gilt ja -a < 0 < a

Was setze ich dann in f‘(x) ein, um vor -a und nach -a zu schauen?

Weil ich ja nicht genau weiß was a ist.

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Das verstehe ich nicht. probier doch mit einer konkreten Zahl a=5 und einer negativen a=-3 vielleicht siehst du es dann besser?

lul

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a könnte ja auch 1 sein. Demnach könnte ich keine allgemeingültige Aussage treffen

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Für \(a\ne 0\) gilt dies:

\(x\)	\(-2\cdot\left| a \right|\)	\(-\left| a \right|\)	\(-0.5\cdot\left| a \right|\)	0	\(0.5\cdot\left| a \right|\)	\(\left| a \right|\)	\(2\cdot\left| a \right|\)
\(f'(x)\)	\(-\)	0	\(+\)	0	\(-\)	0	\(+\)
\(f\)	\(\searrow\)	\(\underrightarrow{\quad}\)	\(\nearrow\)	\(\overrightarrow{\quad}\)	\(\searrow\)	\(\underrightarrow{\quad}\)	\(\nearrow\)
		TP		HP		TP

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Soweit verstanden. Aber wie würde sich das Verhalten, wenn a =3 gilt. Du setzt ja in deiner Tabelle in f‘(x) für x 2 ein, um zu prüfen, wie sich die Monotonie nach dem HP bei a verhält. Wenn a allerdings 3 ist, ist der HP ja auch bei 3 und durch einsetzen von 2 für x wird ja die Monotonie vor und nicht nach dem HP geprüft. Sorry falls man meinen Gedankengang nicht 100% nachvollziehen kann, aber das ist so der Punkt den ich noch nicht so 100% verstanden habe

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Ich habe nicht für x 2 eingesetzt.

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wie kommst du dann auf 2*a in der Tabelle? Wird das eingesetzt?

Answer 2

Hallo

du schreibst f'=2x*(x^2-a^2) jetzt Fallunterscheidung x>0 und x^2>a^2  also x>a  folgt f'>0.  x<0 und x^2<a^2  also x<a folgt auch f'>0. Überall sonst f'<=0

Wenn du überprüfen willst  plotte die Funktion für irgend ein a>0 und ein a <0

Gruß lul

Comments

Hey, erst einmal vielen Dank. Verstehe ich es dann richtig, dass die vorliegende Funktion bei a=0 ^ x=0 nicht streng monoton sondern lediglich monoton verläuft, da f‘(x)=0 in diesem Fall?

Selbes wäre ja auch bei x=a der Fall.

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Des Weiteren folgt aus x<0 und x<a ja nicht f‘(x)>0

Beispiel x=-2 und a=-1

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ja das ist richtig, aber es ist ja nur nach monoton gefragt und das ist richtig, bei x<a und x>a best werden Randpunkte dabei nicht einzeln betrachtet, den "in" einem Punkt gibts "monoton" nicht. (Was anderes ist es bei Sattelpunkten  wie z,B bei x^3 in x=0 )

Gruß lul

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Und was ist hiermit:

Des Weiteren folgt aus x<0 und x<a ja nicht f‘(x)>0

Beispiel x=-2 und a=-1

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richtig und da stand ja ursprünglich x<0 und x^2<a^2

lul