Aloha :)
Die obere Grenze bezeichnen wir nicht als \((x-1)\), sondern als \((n-1)\). Dadurch wird das \(x\) frei, um eine allgemeinere Potenzreihe betrachten zu können:
$$S_n(x)\coloneqq\sum\limits_{k=0}^{n-1}kx^k=0\cdot x^0+\sum\limits_{k=1}^{n-1}kx^k=\sum\limits_{k=1}^{n-1}kx^k=x\sum\limits_{k=1}^{n-1}kx^{k-1}=x\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{d}{dx}\left(x^k\right)$$Anstatt die einzelnen Summanden abzuleiten können wir auch die ganze Summe ableiten.$$\phantom{S_n(x)}=x\,\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}x^k\right)=x\,\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^k-x^0\right)=x\,\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^k-1\right)$$Die Summe ist eine geometrische Reihe, die Konstante \((-1)\) fällt bei der Ableitung weg:$$\phantom{S_n(x)}=x\,\frac{d}{dx}\left(\frac{1-x^{(n-1)+1}}{1-x}\right)=x\,\frac{d}{dx}\left(\frac{x^n-1}{x-1}\right)=x\,\frac{nx^{n-1}(x-1)-(x^n-1)}{(x-1)^2}$$$$\phantom{S_n(x)}=\frac{nx^n(x-1)-x(x^n-1)}{(x-1)^2}=\frac{(n-1)x^{n+1}-nx^n+x}{(x-1)^2}$$
Speziell für \(x=\frac13\) kommt dann nach kurzer Rechnung raus:$$\sum\limits_{k=0}^{n-1}k\cdot\left(\frac13\right)^k=\frac{3^n-2n-1}{4\cdot3^{n-1}}$$
