Geometrische Reihe und Gauß parallel anwenden?

Question

Text erkannt:

$\sum \limits_{k=0}^{x-1} k \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{k}$

In der Summe ist der Faktor k den man normalerweise auflösen kann mit der Gaußschen Summenformel und (1/3)^k ist eine geometrische Reihe die sich eigentlich auch ohne Probleme auflösen lässt, aber gibt es einen Weg wie ich diese beiden Faktoren wenn sie in der Summe multipliziert werden auflösen kann?

Ich bin dankbar für jede Hilfe!

:)

Comments

Das sollte rauskommen:

https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+k*%281%2F3%29%5Ek+from+0+to…

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Empfehlenswert ist dieser Link bzw. dieses Dokument

https://fit.mathematik.uni-mainz.de/files/fit/auf_2_3_Reihen_loesung…

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Was wisst ihr über die Differentiation von Potenzreihen ?

Answer 1

Aloha :)

Die obere Grenze bezeichnen wir nicht als $(x-1)$, sondern als $(n-1)$. Dadurch wird das $x$ frei, um eine allgemeinere Potenzreihe betrachten zu können:

$$S_n(x)\coloneqq\sum\limits_{k=0}^{n-1}kx^k=0\cdot x^0+\sum\limits_{k=1}^{n-1}kx^k=\sum\limits_{k=1}^{n-1}kx^k=x\sum\limits_{k=1}^{n-1}kx^{k-1}=x\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{d}{dx}\left(x^k\right)$$Anstatt die einzelnen Summanden abzuleiten können wir auch die ganze Summe ableiten.$$\phantom{S_n(x)}=x\,\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}x^k\right)=x\,\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^k-x^0\right)=x\,\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^k-1\right)$$Die Summe ist eine geometrische Reihe, die Konstante $(-1)$ fällt bei der Ableitung weg:$$\phantom{S_n(x)}=x\,\frac{d}{dx}\left(\frac{1-x^{(n-1)+1}}{1-x}\right)=x\,\frac{d}{dx}\left(\frac{x^n-1}{x-1}\right)=x\,\frac{nx^{n-1}(x-1)-(x^n-1)}{(x-1)^2}$$$$\phantom{S_n(x)}=\frac{nx^n(x-1)-x(x^n-1)}{(x-1)^2}=\frac{(n-1)x^{n+1}-nx^n+x}{(x-1)^2}$$

Speziell für $x=\frac13$ kommt dann nach kurzer Rechnung raus:$$\sum\limits_{k=0}^{n-1}k\cdot\left(\frac13\right)^k=\frac{3^n-2n-1}{4\cdot3^{n-1}}$$

Answer 2

halle

differenziere Σxⁿ und die bekannte Summe davon

Gruß lul