Beweisen von fehlenden Teilen des Austauschsatzes

Question

Aufgabe (Austauschsatz):

Beweisen Sie die fehlenden Teile des Austauschsatzes (siehe Satz 1.1.8 im Skript).
Sei \( V=\operatorname{Span}\left\{v_{1, \ldots}, v_{m}\right\} \) und \( \left\{x_{1}, \ldots, x_{k}\right\} \subseteq V \) eine linear unabhängige Menge. Die Aussage des Satzes ist, dass wir sukzessive neue linear unabhüngige Vektoren aus dern Vektorraum gegen die aus dem Erzeugendensystem austauschen können.

Wir wollen den Induktionsschritt vollziehen und haben nach Induktionsvoraussetzung für ein festes \( l \in\{0, \ldots, k-1\} \)

\( V=\operatorname{Span}\left\{x_{1, \ldots}, x_{1}, v_{1+1} \ldots, v_{m}\right\} \)

und wollen \( x_{l+1} \in V \) gegen Tausch eines hinteren Vektors hinzufügen. Da \( x_{l+1} \in V \) gibt es Skalare \( \lambda_{4} \), sodass

\( \boldsymbol{x}_{l+1}=\lambda_{1} \boldsymbol{x}_{1}+\ldots+\lambda_{l} \boldsymbol{x}_{l}+\lambda_{l+1} \boldsymbol{v}_{l+1}+\ldots+\lambda_{m} v_{m-} \)

(i) Zeigen Sie: Es gibt (mindestens) ein \( j \in\{1+1, \ldots, m\} \) mit \( \lambda_{j} \neq 0 \).

(ii) Folgern Sie, dass man \( V \) schreiben kann als
\( V=\operatorname{Span}\left\{x_{1}, \ldots, x_{l}, x_{l+1}, v_{l+1}, \ldots, y_{5}, \ldots, v_{m}\right\} \) wobei \( v_{j} \) (mit \( j \) wje oben) rausgenommen wurde. Stellen sie dazu ein beljebiges w \( \in V \) (wobei \( V=\operatorname{Span}\left\{x_{1, \ldots}, x_{1}, v_{i+1}, \ldots, v_{m}\right\} \) nach I.V.) mit dem neuen Erzeugendensystem dar.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Beweis zu Teil (i):

Um die Existenz eines \(j\) mit \( \lambda_j \neq 0 \) für einen Index \(j\) in der Menge \(\{l+1, \ldots, m\}\) nachzuweisen, betrachten wir die Gegenannahme: Alle \(\lambda_j = 0\) für \( j \in \{l+1, \ldots, m\}\).

Wenn das der Fall wäre, würde \(x_{l+1}\) ausschließlich als Linearkombination der Vektoren \(\{x_1, ..., x_l\}\) darstellbar sein:

\( x_{l+1} = \lambda_1 x_1 + \ldots + \lambda_l x_l \)

Dies widerspricht jedoch der Annahme, dass \(\{x_1, ..., x_k\}\) eine linear unabhängige Menge ist, denn dann wäre \(x_{l+1}\) linear abhängig von \(\{x_1, ..., x_l\}\), was der Definition linearer Unabhängigkeit widerspricht. Folglich muss es mindestens ein \(\lambda_j\) geben, das ungleich Null ist, für ein \(j\) im Bereich von \(l+1\) bis \(m\).

Beweis zu Teil (ii):

Aufgrund von (i) wissen wir, dass mindestens ein \(\lambda_j\) für \(j \in \{l+1, ..., m\}\) ungleich Null ist. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass für diesen spezifischen Index \(j\), \(\lambda_j\) tatsächlich ungleich Null ist.

Um zu zeigen, dass wir \(V\) als \(\operatorname{Span}\{x_1, \ldots, x_l, x_{l+1}, v_{l+1}, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_m\}\) darstellen können, nutzen wir \(x_{l+1}\) um \(v_j\) zu ersetzen.

Da \(\lambda_j \neq 0\), können wir \(v_j\) in Abhängigkeit von \(x_{l+1}\) und den übrigen Vektoren ausdrücken:

\( v_j = \frac{1}{\lambda_j}(x_{l+1} - \lambda_1 x_1 - \ldots - \lambda_l x_l - \lambda_{l+1} v_{l+1} - \ldots - \lambda_{j-1} v_{j-1} - \lambda_{j+1} v_{j+1} - \ldots - \lambda_m v_m) \)

Dies ermöglicht uns, \(v_j\) durch eine Linearkombination der \(x_i\) und der restlichen \(v_i\)'s (außer \(v_j\)) darzustellen. Somit ist jedes \(w \in V\), das ursprünglich als Linearkombination von \(\{x_1, \ldots, x_l, v_{l+1}, \ldots, v_m\}\) ausgedrückt wurde, auch darstellbar als Linearkombination der neuen Menge \(\{x_1, \ldots, x_l, x_{l+1}, v_{l+1}, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_m\}\), was bedeutet, dass das Ersetzen von \(v_j\) den Spann von \(V\) nicht verändert.

Damit haben wir gezeigt, dass es möglich ist, sukzessive Vektoren \(x_{l+1}\) in den Spann \(\operatorname{Span}\{x_1, ..., x_l, v_{l+1}, ..., v_m\}\) hinzuzufügen, indem wir geeignete Vektoren \(v_j\) entfernen, ohne den Spann von \(V\) zu verändern, was den Austauschsatz demonstriert.