Aufgabe:
Aufgabe 1) (Unabhängigkeit von Ereignissen I)
Von einem regulären Tetraeder (”echten vierseitigen Würfel”) seien drei der vier Flächen mit jeweils einer der Farben 1, 2 und 3 gefärbt, auf der vierten Fläche sei jede dieser drei Farbensichtbar. Es sei Aj das Ereignis, dass nach einem Wurf des Tetraeders die unten liegende Seite die Farbe j enthält (j = 1, 2, 3). Zeigen Sie:
(a) Je zwei der Ereignisse A1, A2 und A3 sind unabhängig.
(b) A1, A2, A3 sind nicht unabhängig.
Aufgabe 2) (Unabhängigkeit von Ereignissen II)
Es seien A, B und C Ereignisse in einem W-Raum (Ω, p).
(a) A und B sowie A und C seien unabhängig. Zeigen Sie an einem Beispiel, dass nicht unbedingt auch A und B ∩ C unabhängig sein müssen.
(b) A und B sowie B und C seien unabhängig. Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass A und C nicht notwendig unabhängig sein müssen. Der Unabhängigkeitsbegriff ist also nicht transitiv.
Aufgabe 3) (Unabhängigkeit von Ereignissen III)
Der Bau eines Gerätes erfolgt in drei voneinander unabhängigen Arbeitsvorgängen, in denen mit den Wahrscheinlichkeiten 0.05 bzw. 0.03 bzw. 0.02 Fehler unterlaufen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit verlässt das Gerät das Werk in einwandfreiem Zustand?
Aufgabe 4) (Bernoulliexperiment)
Ein echter Würfel wird in unabhängiger Folge geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
(a) Mindestens eine 6 in 6 Würfen,
(b) mindestens zwei Sechsen in 12 Würfen
(c) mindestens drei Sechsen in 18 Würfen.
