Integral eines Kreissektor mit Hilfe von Polarkoordinaten

Question

∫∫ √4-x² -y² dxdy

A sei der virtelkreis mit dem Radius 2 im 1. Quadranten.

Berechnen Sie mit Hilfe von Polarkoordinaten...

Comments

versuch es mal mit einer Substitution r^2=x^2+y^2 .Vergiss aber die Funktionaldeterminante und die Winkelintegration nicht.

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Ich habe leider keine Ahnnung wie mir das weiter helfen kann...

Answer 1

Ich nehme einmal an, dass das Integral deine Idee ist.

Wenn du das auf diesem Wege machen willst, dann aber mit der richtigen Funktion und den richtigen Grenzen.

Der Kreis, den wir betrachten hat die Gleichung 4 = x²+y². Er bildet allerdings nur die Grenze unseres Integrationsbereiches. Die eigentliche Funktion, die wir integrieren, ist 1. Das große Problem ist, die Grenzen auszudrücken. Wenn x von 0 bis zum Radius 2 läuft, was macht dann y? Nach der Kreisgleichung von oben ist der Zusammenhang zwischen x und y folgender: y = √(4-x²)

Damit sähe dein Integral in kartesischen Koordinaten so aus:

 ∫(0..2)∫(0..√(4-x²))  1 dydx

Somit wäre deine Fläche ∫(0..2) √(4-x²) dx. Kein wirklich schönes Integral.

 

Einfacher geht das mit Polarkoordinaten. Die Funktion ist immer noch 1. Die Grenzen lassen sich aber jetzt viel einfacher darstellen, da r und φ voneinander unabhängig sind. Der Winkel φ läuft im ersten Quadranten von 0 bis π/2. Der Radius von 0 bis 2. Die Funktionaldeterminante ist r.

Damit ergibt sich das Flächenintegral:

 ∫(0..π/2)∫(0..2) 1* r drdφ

= ∫(0..π/2) [r²/2]₀²dφ

=∫(0..π/2) 2 dφ

=[2φ]₀^π/2

=π