Warum liefert die Berechnung der \lambda über \operatorname{Det}(A-\lambda E)=0 genau die Eigenwerte?

Question

Aufgabe:

Warum liefert die Berechnung der \( \lambda \) über \( \operatorname{Det}(A-\lambda E)=0 \) genau die Eigenwerte?

Problem/Ansatz:

Grunsätzlich zieht man ja die lamdas in der Diagonale ab und erhält damit dann die Eigenwerte, aber warum ist das so bzw. warum ist die Determinante 0?

Answer 1

Aloha :)

Du kannst die Eigenwertgleichung etwas umformen:$$\left.\mathbf A\cdot\vec x=\lambda\cdot \vec x\quad\right|-\lambda\cdot\vec x$$$$\left.\mathbf A\cdot\vec x-\lambda\cdot\vec x=\vec 0\quad\right|\text{Einbau einer Einheitsmatrix \(\mathbf 1\) über }\mathbf 1\cdot\vec x=\vec x$$$$\left.\mathbf A\cdot\vec x-\lambda\cdot\mathbf 1\cdot\vec x=\vec 0\quad\right|\vec x\text{ ausklammern}$$$$\left.\left(\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf 1\right)\cdot\vec x=\vec 0\quad\right.$$

Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Genau eine Lösung hat es, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix \(\ne0\) ist. Das würde hier bedeuten, dass die triviale Lösung \(\vec x=\vec 0\) die einzige Lösung ist. Allerdings ist der Nullvektor per Definition als Eigenvektor ausgeschlossen. Wir müssen also fordern, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat. Daher muss die Determinante der Koeffizientenmatrix verschwinden:$$\operatorname{det}\left(\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf 1\right)=0$$