Beweis: Mersenne-Zahl mit dem Exponent 2^(2*m) mithilfe der 3. Binomischen Formel

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass eine Mersenne-Zahl keine Primzahl ist, wenn der Exponent n in die Faktoren 2 und m > 1 zerlegt werden kann, also n = 2 · m gilt.

Problem/Ansatz:

Ich habe dies nun versucht mit den Potenzgesetzen zu vereinfachen

2^2·m − 1 = (2^m)² − 1

Dann kam ich mithilfe des Artikels darauf dass man dies noch weiter vereinfachen kann (3. Binomische Formel)

= (2^m + 1) · (2^m − 1)

Ich verstehe jedoch nicht die Begründung von diesem Artikel, warum dies keine Primzahl sein kann.

Begründung: "Weil m>1 ist, haben wir die Mersenne-Zahl von 2*m somit in zwei Faktoren >3 zerlegt, es kann sich also um keine Primzahl handeln."

Kann mir jemand helfen, warum dies durch die 3. Binomische Formel keine Primzahl sein?

Answer 1

Hallo,

für m=2 erhältst du

2^4 - 1 = (2² - 1)•(2² + 1), also 15=3•5.

Für m=3

63=7•9

usw.

Es gibt also immer mindestens zwei Faktoren, die beide größer als 1 sind. Daher liegen keine Primzahlen vor.

:-)