Ein bisschen spät auch von mir ... :-)
Sei K der Punkt auf dem Kurs des Schiffes, bei dem das Schiff die kürzeste Entfernung zum Leuchtturm erreicht. Im Punkt K steht die Peilung dann genau senkrecht auf dem Schiffskurs, sodass also die Dreiecke
AKL und BKL
jeweils rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Punkt K sind.
Somit gilt dann nach Pythagoras
im Dreieck AKL:
AK ² + KL ² = AL ²
und im Dreieck BKL:
BK ² + KL ² = BL ²
(dabei soll die Notation XY die Länge der Strecke XY bedeuten).
Unter Anwendung des Subtraktionsverfahrens ergibt sich aus diesem Gleichungssystem:
AK ² - BK ² = AL ² - BL ²
Die Strecke AK kann nun in die Teilstrecken AB und BK aufgeteilt werden. Damit gilt:
AK = AB + BK .
Setzt man dies in die vorangegangene Gleichung ein, erhält man:
( AB + BK ) ² - BK ² = AL ² - BL ²
Gesucht ist die Länge der Strecke BK, also muss man nun die vorangegangene Gleichung nach BK auflösen. Zunächst die Klammer ausquadrieren (erste binomische Formel):
<=> AB ² + 2 * AB * BK + BK ² - BK ² = AL ² - BL ²
BK ² subtrahiert sich heraus. Es verbleibt:
<=> AB ² + 2 * AB * BK = AL ² - BL ²
Durch weiteres sukzessives Auflösen nach BK erhält man:
<=> 2 * AB * BK = AL ² - BL ² - AB ²
<=> BK = ( AL ² - BL ² - AB ² ) / ( 2 * AB )
Die Längen der Strecken AL und BL wurden in Teil a berechnet ( AL ≈ 8,27 sm , BL ≈ 3,24 sm ) während die Länge der Strecke AB durch die Aufgabenstellung vorgegeben ist ( AB = 5,4 sm ).
Setzt man diese Werte in die vorangegangene Gleichung ein, erhält man:
BK = ( 8,27 ² - 3,24 ² - 5,4 ² ) / ( 2 * 5,4 ² ) ≈ 0,49 sm
