Gibt es jemanden der diese Aufgabe lösen kann?
Text erkannt:
Aus der Analysis I ist bekannt, dass
\( E=C^{1}([0,1])=\{f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \mid f \text { ist stetig differenzierbar }\} \)
ein reeller Vektorraum ist. Für \( f \in E \) definieren wir
\( \|f\|_{C^{1}}:=\|f\|_{\infty}+\left\|f^{\prime}\right\|_{\infty} \quad \text { und } \quad\|f\|_{C^{1}}:=|f(0)|+\left\|f^{\prime}\right\|_{\infty} . \)
(a) Zeigen Sie, dass \( \left(E,\|\cdot\|_{C^{1}}\right) \) und \( \left(E,\|\cdot\|_{C^{1}}\right) \) normierte Vektorräume sind.
(b) Zeigen Sie, dass die Normen \( \|\cdot\|_{C^{1}} \) und \( \|\cdot\|_{C^{1}} \) äquivalent sind.
(c) Zeigen Sie, dass \( \left(E,\|\cdot\|_{C^{1}}\right) \) und \( \left(E,\|\cdot\|_{C^{1}}\right) \) Banachräume sind.
