Für welche a∈ℝ ist (x,y,z) linear unabhängig?

Question

Aufgabe:

Sei a∈ℝ und definiere die Vektoren x = (0 1 a), y= (a 0 1), z= (a 1 2a) im ℝ³. Für welche a∈ℝ ist (x,y,z) linear unabhängig?

Answer 1

Aloha :)

Der Betrag der Determinante einer \(n\times n\)-Matrix ist gleich dem \(n\)-dimensionalen Volumen, das die Spaltenvektoren der Matrix aufspannen. Wenn unsere 3 Vektoren linear unabhängig sind, spannen sie ein 3-dimensionales Volumen auf und die Determinante ist \(\ne0\). Wir suchen daher alle \(a\), für die gilt:$$0\stackrel{!}{\ne}\left|\begin{array}{rrr}0 & a & a\\1 & 0 & 1\\a & 1 & 2a\end{array}\right|\stackrel{(S_3-=S_1)}{=}\left|\begin{array}{rrr}0 & a & a\\1 & 0 & 0\\a & 1 & a\end{array}\right|\stackrel{S_3-=S_2}{=}\left|\begin{array}{rrr}0 & a & 0\\1 & 0 & 0\\a & 1 & a-1\end{array}\right|=(a-1)\cdot(-a)$$

Für \(a\ne0\) und \(a\ne1\) sind die 3 Vektoren linear unabhängig.

Answer 2

Schreibe die Vektoren zu einer Matrix und bringe die Matrix in Zeilenstufenform und setze dann a so ein, dass du eine Nullzeile bekommst. Dann weißt du, dass die drei Vektoren für diese jeweiligen a-Werte linear abhängig sind. Das bedeutet dann, dass die Vektoren für alle reellen Werte außer die a-Werte linear unabhängig sind.

Comments

Schreibe die Vektoren zu einer Matrix und bringe die Matrix in Zeilenstufenform und setze dann a so ein, dass du eine Nullzeile bekommst.

Wie genau geht sowas?

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Du schreibst die jeweiligen Vektoren zu einer Matrix , also so:

(0 1 a)

(a 0 1)

(a 1 2a), wobei auf der linken und rechte Seite jeweils eine große Klammer steht.

Du formst die Matrix so um, dass in der zweiten Zeile eine 0 als Koeffizient links steht und dass in der dritten Zeile der erste und zweite Koeffizient 0 steht, indem z.B. die Zeilen vertauscht und/oder die Zeilen mit einem  beliebigen Faktor voneinander subtrahierst oder addierst. Ich z.B. würde die dritte Zeile minus die zweite rechnen und dann die zweite mit der ersten tauschen und dann zum Schluss die veränderte dritte Zeile minus die neue veränderte zweite Zeile (die vorher die erste war) rechnen, dann sollte in der dritten zum 2. Mal veränderten Zeile stehen: (0 0 a-1) . Und dann a so bestimmen, dass dann eine Nullzeile steht, was bedeuten würde, dass die drei Vektoren für diesen a-Wert linear abhängig sind. Daraus kannst du folgern, dass die drei Vektoren für alle reellen a-Werte bis auf die bestimmten linear unabhängig sind.

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und dann a so bestimmen, dass dann eine Nullzeile steht, was bedeuten würde, dass die drei Vektoren für diesen a-Wert linear abhängig sind.

a kann man also als 1 annehmen? Wenn a = 1, dann ist z der Nullvektor, demnach gibt es ja ein w ∈ ℝ (nämlich die 0), sodass w*x = z und w*y = z ist, was auf lineare Abhängigkeit schließen lässt. Verstehe ich das richtig? Es ist ja klar, dass dann für jedes andere w ∈ ℝ dann (x,y,z) linear unabhängig ist.