E Funktion - Ich bräuchte mal ein wenig Hilfe - Ich möchte bei der nächste Mathe Stunde strahlen für die mündliche Note

Question

E Funktion. Ich muss Stellung nehmen zu den Argumentationen, jedoch kenn ich mich mit den Formeln und dem Thema auch garnicht aus. Mag mir jemand vielleicht bitte die Lösung der Aufgabe schicken und mir dabei helfen? Das wäre mega

Nehmen Sie Stellung zu den Argumentationen:
Max: \( 1+\frac{1}{n}>1 \) für \( n \in \mathbb{N} \)
also \( :\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \rightarrow \infty \) für \( n \rightarrow \infty \)

Lea: \( 1+\frac{1}{n} \rightarrow 1 \) für \( n \rightarrow \infty ; 1^{n}=1 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)

also: \( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \rightarrow 1 \) für \( n \rightarrow \infty \)

Comments

\( 1+\frac{1}{n} \rightarrow e \) für \( n \rightarrow \infty \)

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gelöscht. Fülltext. Fülltext,

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\( 1+\frac{1}{n} \rightarrow e \) für \( n \rightarrow \infty \)

Da fehlt ein hoch n.

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Stimmt, hatte den falschen Ausdruck oben rauskopiert :D

Answer 1

Was Lea in ihrer ersten Zeile sagt, ist beides richtig, aber die Kombination ist es nicht.

Was passiert, wenn man zwei Unendlichkeiten kombiniert, kann man nicht durch Betrachtung der Einzelteile feststellen.

Bzgl. Max kann man eigentlich nur sagen, dass es zwar richtig > 1 ist, aber deswegen ja nicht zwingend gegen Unendlich laufen muss, es kann auch auf eine Zahl konvergieren.

Answer 2

Man kann die Argumentation von Max als obere Abschätzung nehmen. Also im schlimmsten Fall geht der Term gegen unendlich.

Leas Argumentation könnte man als untere Abschätzung nehmen. Also im kleinsten Fall muss mindestens 1 heraus kommen.

Allerdings wäre alles dazwischen Möglich.

Folgendes wäre ein ähnliches Beispiel

lim (n → ∞) n * 1/n

Max könnte sagen 1/n ist auf jeden Fall größer als 0 und wenn n gegen unendlich geht dann geht auch n * 1/n gegen unendlich

Lea könnte sagen 1/n strebt gegen 0 wenn n gegen unendlich geht und unendlich mal 0 wären 0.

Also nach max wäre der Grenzwert Unendlich und nach Leas Agumentation wäre der Grenzwert 0.

Natürlich wissen wir dass n * 1/n sich vereinfachen lässt zu 1 und daher ist der Term und damit auch der Grenzwert natürlich 1.

Was sich genau als Grenzwert ergibt kann man nicht nur aus den Grenzwerten zweier einzelner Teile schließen sondern man muss tatsächlich den gesamten Term untersuchen.