Drei Nullstellen - Partialbruchzerlegung

Question

Aufgabe:

\( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{x^{2}+64}{-x^{4}+12x^{3}-48x^{2}+64x} \)

Problem/Ansatz:

Das Integral soll mithilfe Partialbruchzerlegung bestimmt werden.

Problem hierbei ist, dass es die Nullstelle 0 + die dreifache Nullstelle 4 besitzt

Mein Ansatz;

\( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{-x^{2}-64}{x^{4}-12x^{3}+48x^{2}-64x} \) =\( \frac{x^{2}+64}{x(x-4)^{3}} \) = \( \frac{A}{x} \) + \( \frac{B}{x-4} \) + \( \frac{C}{(x-4)^{2}} \) +\( \frac{D}{(x-4)^{3}} \)

Dann kann man das kgV nehmen welches x\( (x-4)^{3} \) ist

Also

\( -x^{2} \)-64 = A\( (x-4)^{3} \) + Bx\( (x-4)^{2} \) + Cx (x-4) + Dx

Jetzt weiß aber nicht so recht, wie ich fortfahre und das Integral bestimme. Kann jemand helfen?

Comments

Was soll diese Frage?

Du hast hier

https://www.mathelounge.de/937598/partialbruchzerlegung-durchfuhren

schon eine Komplettantwort erhalten.

Answer 1

x^2 + 64 = a·(x - 4)^3 + b·x·(x - 4)^2 + c·x·(x - 4) + d·x

x^2 + 64 = a·(x^3 - 12·x^2 + 48·x - 64) + b·(x^3 - 8·x^2 + 16·x) + c·(x^2 - 4·x) + d·x

x^2 + 64 = x^3·(a + b) - x^2·(12·a + 8·b - c) + x·(48·a + 16·b - 4·c + d) - 64·a

Gewinne daraus das Gleichungssystem und die Parameter

a + b = 0
12·a + 8·b - c = -1
48·a + 16·b - 4·c + d = 0
64·a = - 64

Ich erhalte als Lösung: a = -1 ∧ b = 1 ∧ c = -3 ∧ d = 20

Also

(x^2 + 64)/(- x^4 + 12·x^3 - 48·x^2 + 64·x) = - 20/(x - 4)^3 + 3/(x - 4)^2 - 1/(x - 4) + 1/x

Damit kannst du jetzt die Stammfunktion bilden.