kommutative Matrixmultiplikation ...x...

Question

Bestimmen Sie alle Matrizen \(X\), die zu
$$A = \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$$kommutativ sind, d. h. für die gilt:$$AX = XA$$

Ich bräuchte vorerst nur die Lösung:

Comments

Meinst du die Menge der X, die mit jeder Matrix A kommutieren?

Oder nur mit einer bestimmten Matrix A?

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Die Matrix A ist konkret gegeben; a,b,c,d sind also Konstanten.

Answer 1

Löse die Gleichung

        \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\).

Tipp. Die Gleichung kann in ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Unbekannten umgewandelt werden.

Comments

Ich bräuchte eine Lösung, keinen Ansatz (außerdem sind es nur drei Gleichungen).

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Es sind vier Gleichungen, eine für jede Komponente der Matrix.

Das Gleichungssystem lässt sich mit einem Computeralgebrasystem lösen.

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Die erste und letzte Gleichung sind identisch, und das führt zu vielen Fallunterscheidungen.

Answer 2

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ea+fc & eb+fd \\ ga+hc & gb+hd\end{pmatrix} \\ ae+bg = ea+fc \\ af+bh = eb+fd \\ ce+dg = ga+hc \\ cf+dh = gb+hd \\ \text{ Das GLS ist unterbestimmt (wurde numerisch gelöst) } \\ \text{ Lösung 1 : b != 0, wähle beliebiges e und f, } g = \frac{cf}{b}, \, h = \frac{f(d-a)}{b} + e\\ \text{ Lösung 2 : b = 0, c != 0, f = 0, wähle beliebiges g und e , } h = \frac{g(d-a)}{c} + e \\ \text{ Lösung 3 : b = 0, c = 0, a!=d, g = 0, f = 0, h und e beliebig }$$

Comments

Deine Lösung 1 habe ich auch schon, allerdings lässt sie sich besser umschreiben:

$$ g = {cf\over b} \iff {g\over f} = {c\over b} \iff g = kc,~ f = kb $$

(Es gilt: Mit jeder Matrix \(X\) ist auch \(kX\) kommutativ.)

Und dann folgt:

$$ h = {f\left(d-a\right) \over b}+e \iff (e-h) = k\left(a-d\right) $$ (Differenz der Hauptdiagonalen ist einprägsamer.)

Noch besser wäre eine Lösung der Art: \( e = \dots\) und \(h = \dots\), dann könnte man alle Variablen direkt berechnen, anstatt nur Zusammenhänge zu haben.

Deine Fallunterscheidung scheint unvollständig zu sein. Was gilt z.B. für \( a = d \)?