Ermittle alle "vorteilhaften" Zahlen.

Question

Aufgabe:

Eine Zahl n∈ℕ mit n>0 werde vorteilhaft genannt, wenn es ganze Zahlen k₁,k₂,...,k_n gibt, sodass k₁+k₂+...+k_n=k₁·k₂·...·k_n. Ermittle alle vorteilhaften Zahlen.

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung, wie ich dieses Problem angehen soll und bin für jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Mit n = 2  gibt es die sehr trivialen Lösungen

0 + 0 = 0 * 0
2 + 2 = 2 * 2

mit n = 3 habe ich folgendes gefunden

1 + 2 + 3 = 1 * 2 * 3

mit n = 5 habe ich folgendes gefunden

1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 1 * 1 * 2 * 2 * 2

Aber dann gäbe es doch eigentlich unendlich viele vorteilhaften Zahlen oder nicht?

Comments

Das lässt sich vielleicht vermuten, aber dann müsste es doch eine Art Regel dafür geben.

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Wie sieht das eigentlich für n = 1 aus

1 = 1

Ich glaube jede natürliche Zahl n > 0 ist eine vorteilhafte Zahl.

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Wie gesagt, das scheint erstmal plausibel. Aber es muss doch einen richtigen Beweis dafür geben.

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1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 1 * 1 * 2 * 2 * 2

Aber dann gäbe es doch eigentlich unendlich viele vorteilhaften Zahlen oder nicht?

Jede weitere Zahl 2 wird die rechte Seite verdoppeln, die linke aber bei weitem nicht so stark erhöhen. Da stößt man sehr schnell an Grenzen.

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Da stößt man sehr schnell an Grenzen.

n = 2^k - k kennt keine Grenzen.

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n = 2^k - k kennt keine Grenzen.

Warum n=2^k-k?

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Fülle die k-gliedrige Summe 2+2+2+ ... +2  mit +1+1+1+ ... +1  auf, bis der Wert von 2*2*2* ... *2  erreicht ist, welcher durch *1*1*1 ... *1  nicht mehr verändert wird.

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Vielleicht habe ich euch mit meinen Beispielen auf eine falsche Fährte geführt

0 = 0

0 + 0 = 0 * 0

0 + 0 + 0 = 0 * 0 * 0

0 + 0 + 0 + 0 = 0 * 0 * 0 * 0

Da das immer funktioniert ist jedes n ∈ N eine vorteilhafte Zahl.

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Da das immer funktioniert ist jedes n ∈ N eine vorteilhafte Zahl.

das sehe ich auch so. Mein Vorschlag sieht so aus:

Für eine Zahl \(n \in \mathbb N\) sei$$k_1 = n, \quad k_2 = 2, \quad k_i=1\space \forall i \gt 2 \\ \implies \sum_{i=1}^n k_i = \prod_{i=1}^n k_i = 2n$$

Answer 2

Mir fällt da nur ein \(2+2=2*2\) wobei \(k₁=k₂\)

Answer 3

n=2

n+m=n*m die rechte Seit ist durch n und m teilbar, also muss auch die linke durch n und m teilbar sein  da n durch n tb muss auch m durch n tb sein also..

eine  solche Zahl ist 4=2+2=2*2

gibt es noch eine einstellige, kann es 2 stetige geben ?

jetzt überleg mal weiter !

Comments

Warum gilt n=2 ?