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Du sollst die Parameter \(b_1\), \(b_2\) und \(b_3\) in der Gleichung$$y(x)=b_1+b_2\cdot x+b_3\cdot x^2$$so bestimmen, dass die 4 gegebenen Punkte möglichst gut getroffen werden.
Wenn wir die 4 Punkte einsetzen, erhalten wir 4 Gleichungen für 3 Unbekannte:
$$\left.\begin{array}{l}54=f(3)=b_1+3b_2+9b_3\\117=f(9)=b_1+9b_2+81b_3\\116=f(10)=b_1+10b_2+100b_3\\106=f(16)=b_1+16b_2+256b_3\end{array}\quad\right\}\implies\left(\begin{array}{rrr}1 & 3 & 9\\1 & 9 & 81\\1 & 10 & 100\\1 & 16 & 256\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}54\\117\\116\\106\end{pmatrix}$$
Durch die 3 Unbekannten lassen sich 3 Gleichungen erfüllen, die verbliebene Gleichung wird jedoch im Allgemeinen falsch sein. Daher verwenden wir die sog. "Normalengleichung" zur Bestimmung einer Lösung, die möglichst gut passt, d.h. bei der die quadratischen Abweichungen über alle 4 Punkte summiert minimial sind. Dazu multiplizieren wir die Matrix-Gleichung von links mit der transponierten Koeffizentenmatrix:$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 & 1\\3 & 9 & 10 & 16\\9 & 81 & 100 & 256\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1 & 3 & 9\\1 & 9 & 81\\1 & 10 & 100\\1 & 16 & 256\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 & 1\\3 & 9 & 10 & 16\\9 & 81 & 100 & 256\end{array}\right)\begin{pmatrix}54\\117\\116\\106\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{rrr}4 & 38 & 446\\38 & 446 & 5852\\446 & 5852 & 82178\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}393\\4071\\48699\end{pmatrix}$$Dieses lässt sich eindeutig lösen:$$\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,565126\\20,482493\\-0,869048\end{pmatrix}$$
Das entspricht der Funktionsgleichung:$$y(x)=0,565126+20,482493\cdot x-0,869048\cdot x^2$$
~plot~ {3|54} ; {9|117} ; {10|116} ; {16|106} ; [[0|26|0|130]] ; 0,565126+20,482493*x-0,869048*x^2 ~plot~
