Question

Begründen Sie, dass das uneigentliche Riemann-Integral

\( \int\limits_{1}^{\infty} \) sin²(\( \frac{1}{x} \)) dx

existiert.

Hinweis: Betrachten Sie die Folge (I_n) definiert durch

I_n = \( \int\limits_{1}^{a_n} \) sin²(\( \frac{1}{x} \)) dx

für eine Folge (a_n) mit der Eigenschaft a_n → ∞ für n → ∞

Comments

Führe die Substitution x=1/t durch und beachte, dass \(|\sin(t)| \leq |t|\).

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Hm... also ich würde auf...

1/x = t, dann ist x = 1/t und dx = -dt/t², damit ist:

\( \int\limits_{1}^{\infty} \) sin² (\( \frac{1}{x} \)) dx = \( \int\limits_{1}^{0} \) - \( \frac{sin^2t}{t^2} \) dt = \( \int\limits_{0}^{1} \) \( \frac{sin^2t}{t^2} \) dt.

kommen.

Answer 1

Hallo,

zunächst liefert die Substitution das Integral

$$\int_1^{a} [\sin(\frac{1}{x})]^2\;dx=\int_{1/a}^1 \frac{\sin(t)^2}{t^2}\; dt$$

Jetzt ist zu prüfen, ob dieses Integral für \(a \to \infty\) konvergiert. Dazu kann man das Majorantenkriterium benutzen: Der Integrand ist (wie im Hinweis gesagt) im Absolutbetrag durch 1 beschränkt. Daher existiert der Grenzwert.

Alternativ könnte man wissen, dass sich der Integrand im Nullpunkt stetig durch 1 fortsetzen lässt, so dass eigentlich gar kein uneigentliches Integral vorliegt.

Gruß Mathhilf