Bestimmen Sie Basen von U1 ∩ U2 und von U1 + U2.

Question

Aufgabe:

In ℝ⁴ seien U₁ und U₂ die Unterräume:

U₁ = span((1 1 0 0), (1 2 3 0))
U₂ = {x=(x₁ x₂ x₃ x₄) ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3x₂ - x₃ = 0 und x₁ - x4 = 0}

Bestimmen Sie Basen von U₁ ∩ U₂ und von U₁ + U₂.

Bei U₁ steht ja nichts anderes als die Linearkombination a* (1 1 0 0) + b* (1 2 3 0) mit a,b ∈ ℝ

Bei U₂ habe ich diese Vektorenform mit dem Gaußverfahren herausbekommen:

v= (x₁ x₂ x₃ x₄) = ( x₄ (1/3)x₃-(1/3)x₄ x₃ x₄) = x₃ * (0 1/3 1 0 ) + x₄*(1 -1/3 0 1)

Nun verstehe ich aber nicht was mit den Operationen U₁ ∩ U₂ und von U₁ + U₂ gemeint ist, bzw., wie ich die Basen bestimme.

Answer 1

Hallo,

es ist $U_1 + U_2 = \lbrace{u_1 + u_2 | u_1\in U_1, u_2 \in U_2 \rbrace}$. Damit folgt

$U_1 + U_2 = \langle\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\3\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1\\3\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3\\-1\\0\\3 \end{pmatrix}\rangle = \underset{=: b_1}{\langle\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0 \end{pmatrix}},\underset{=:b_2}{\begin{pmatrix} 1\\2\\3\\0 \end{pmatrix}}, \underset{=:b_3}{\begin{pmatrix} 3\\-1\\0\\3 \end{pmatrix}}\rangle$.

Da $b_1,b_2,b_3$ linear unabhängig sind ist $\lbrace{b_1,b_2,b_3\rbrace}$ eine Basis von $U_1 + U_2$.

Es ist $U_1 \cap U_2 = \lbrace{v \in \mathbb{R^4} | v \in U_1, v \in U_2 \rbrace}$

Mit der Dimensionsformel folgt nun $\dim{U_1 \cap U_2} = 1$. Da $0 \neq v\coloneqq\begin{pmatrix} 0\\1\\3\\0 \end{pmatrix} \in U_1 \cap U_2$  ist $\lbrace{v\rbrace}$ eine Basis vom Schnitt.

Comments

Wie bist du oben auf die Vektoren (0 1 3 0) und (3 -1 0 3) gekommen?

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Du hast doch selber herausgefunden, dass Vektoren aus $U_2$ von der Form

$\alpha \cdot \begin{pmatrix}0 \\ \frac{1}{3} \\1 \\0 \end{pmatrix} + \beta \cdot \begin{pmatrix} 1\\ -\frac{1}{3}\\0\\1\end{pmatrix}$ sind, mit $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$. Setze doch mal $\alpha = 3$ und $\beta = 3$ ein.

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Stimmt macht Sinn. Danke für deine Hilfe!