Untersuchen Sie die Funktionen auf Lipschitz-Stetigkeit

Question

Lipschitz-Stetigkeit

Untersuchen Sie die Funktionen auf Lipschitz-Stetigkeit

Text erkannt:

(a) Untersuchen Sie die Funktion
\( f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x):=\frac{1}{x} \)
auf Lipschitz-Stetigkeit.
(b) Ist die Funktion
\( g:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x):=\frac{1}{x} \)
(c) Ist die Funktion
\( h:(1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, \quad h(x):=\frac{1}{x} \)
Lipschitz-stetig?

Hallo, zusammen! Könnte jemand mir bitte erklären, wie man solche Aufgaben lösen muss? Ich wäre sehr dankbar für den Lösungsweg auch! Danke!

Comments

Z.B. kannst du folgendes Kriterium nutzen:

Eine differenzierbare Funktion \( f\colon (a,b)\rightarrow\R \) mit \( a,b\in\R\cup\{\pm\infty\} \) ist genau dann lipschitzstetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/Lipschitzstetigkeit

Answer 1

Hallo das mit der Ableitung ist zwar richtig, aber erst wenn man Ableitungen hat.

bis dahin muss man  für |1/x-1/y| ein festes L finden, was im gesamten Bereich gilt mit |1/x-1/y|<L*|x-y|

wenn man den linken Teil auf den Hauptnenner bringt ist das für h leicht, für f und g sollte der Fragende sehen  ob es für x,y nahe 0 geht!

Gruß lul