Eine Funktion \( f\colon D\rightarrow\R\) heißt lipschitzstetig, wenn eine Konstante \( L \) existiert, sodass $$|f(x_1)-f(x_2)|\le L \cdot |x_1-x_2|$$ für alle \(x_1, x_2 \in D\) gilt.
i) Seien x1 und x2 in D=ℝ dann ist
$$ |f(x_1)-f(x_2)| = 5 |x_1 - x_2| $$
Existiert jetzt eine solche Konstante L oder nicht?
(ii) Seien x1 ≠ x2 in [-1,1]
Dann ist
$$ |f(x_1)-f(x_2)|\le L \cdot |x_1-x_2|\\ \iff \left|\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\right|\le L $$
Tipp: Nach dem Mittelwertsatz existiert ein \( \xi \) zwischen \( x_1 \) und \( x_2\) mit
$$ \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} = f'(\xi) $$
Wie könnte man hier das L wählen?
