Beweis des Mittelpunktes zweier Punkte (Unimathematik)

Question

Aufgabe:

Seien \( A, B \in \mathbb{R}^{2} \). Zeigen Sie, dass genau ein Punkt \( M \in \mathbb{R}^{2} \) mit

\( \mathrm{d}(A, M)=\mathrm{d}(B, M)=\frac{1}{2} \mathrm{~d}(A, B) \)
existiert und dass
\( M=\frac{1}{2}(A+B) \)
dieser Punkt ist.

Problem/Ansatz:

Die Dreiecksungleichung soll anscheinend zur Lösung führen.

Comments

Hallo

warum schreibst du sie dann nicht erstmal hin für AM, BM und 1/2(A*B)M

lul

Answer 1

Seien A, B, und M Punkte bzw. Ortsvektoren der drei Punkte und ist AB der Richtungsvektor zwischen A und B. dann gilt

M = A + 1/2 * AB
M = A + 1/2 * (B - A)
M = A + 1/2 * B - 1/2 * A
M = 1 * A - 1/2 * A + 1/2 * B
M = (1 - 1/2) * A + 1/2 * B
M = 1/2 * A + 1/2 * B
M = 1/2 * (A + B)

Answer 2

Hallo,

um die Eindeutigkeit zu zeigen, sei v:=AB (der Verbindungsvektor von A nach B), w ein Vektor gleicher Länge, der senkrecht auf v steht. Dann lässt sich darstellen: M=A+sv+tw mit reellen Koeffizienten s,t. Die Abstandsbedingung verlangt (mit Hilfe von Pythagoras):

$$d(A,M)^2=(s^2+t^2)|v|^2=0.25|v|^2$$

$$d(B,M)^2=((1-s)^2+t^2)|v|^2=0.25|v|^2$$

Löst man dies nach s und t auf, folgt: s=0.5 und t=0.

Gruß Mathhilf