Zeigen Sie dim(V × W ) = dim V + dim W

Question

Aufgabe:

Seien V und W zwei endlich erzeugte K-Vektorräume. Zeigen Sie, dass
dim(V × W ) = dim V + dim W
ist.

Problem/Ansatz:

Wie zeigt man das?

Answer 1

Sei dim V = n und dim W = m.

Wähle eine Basis (a1,...,an) für V und eine (b1,...,bm) für W

und zeige, dass (a1,...,an,b1,...,bm) eine

für VxW ist, und die hat genau n+m Elemente.

Comments

Verstehe ich das richtig: Z.B wäre ja {(1,0,...,0), ..., (0,...,0,1)} eine Basis für V und W.
Da V x W = (v+v', w+w') ist, wäre dann

V x W = {(1,0,...,0), ..., (0,...,0,1)+(1,0,...,0), ..., (0,...,0,1)}={(2,0,...,0), ..., (0,...,0,2)}

Und {(2,0,...,0), ..., (0,...,0,2)} ist eine Basis von VxW, da {(2,0,...,0), ..., (0,...,0,2)} zu
{(1,0,...,0), ..., (0,...,0,1)} linear abhängig ist.

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Das kommt mir komisch vor:

z.B. ist (a1,...,an,b1,...,bm) linear unabhängig,

weil aus x1*a1 + x2*a2+...+xn*an+y1*b1+...ym*bm=0-Vektor von VxW

folgt x1*a1 + x2*a2+...+xn*an=0-Vektor von V

        und y1*b1+...ym*bm=0-Vektor von W

und aus dem ersten folgt a1=a2=...=an=0

und aus dem zweiten b1=...bm=0.

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Welche Basen könnte man zu V und W noch wählen? Oder reicht es die Basen (a1,...,an) für V und (b1,...,bm) für W auszuwählen?

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Da V x W = (v+v', w+w') ist, wäre dann
V x W = {(1,0,...,0), ..., (0,...,0,1)+(1,0,...,0), ..., (0,...,0,1)}={(2,0,...,0), ..., (0,...,0,2)}
Und {(2,0,...,0), ..., (0,...,0,2)} ist eine Basis von VxW, da {(2,0,...,0), ..., (0,...,0,2)} zu {(1,0,...,0), ..., (0,...,0,1)} linear abhängig ist.

Ich denke ich mich verrechnet:

V x W = (v,w)
Sei x Basis von V mit x={(1,0,...,0), ..., (0,...,0,1)}
Sei y Basis von W mit y={(2,0,...,0), ..., (0,...,0,2)}
V+W = {(1,0,...,0), ..., (0,...,0,1),(2,0,...,0), ..., (0,...,0,2)}
V x W = {((1,0,...,0), ..., (0,...,0,1)),((2,0,...,0), ..., (0,...,0,2))}
= {(1,0,...,0), ..., (0,...,0,1),(2,0,...,0), ..., (0,...,0,2)}
Die Dimension ist gleich der Mächtigkeit einer Basis des Vektorraums.
Und weil V+W=VxW folgt |x+y|=|x x y| und demnach dim(V × W ) = dim V + dim W

Jetzt müsste es stimmen oder?

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Welche Basen könnte man zu V und W noch wählen?

Du hast doch keine Info über V und W,

außer endlichdimensional,

also musst du es allgemein machen.

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V x W = (v,w)
Sei x Basis von V mit x={(a₁,...,a_n)}
Sei y Basis von W mit y={(b₁,...,b_n)}
V+W = {(a₁,...,a_n),(b₁,...,b_n)}
V x W = {((a₁,...,a_n),(b₁,...,b_n))}
= {(a₁,...,a_n),(b₁,...,b_n)}
Die Dimension ist gleich der Mächtigkeit einer Basis des Vektorraums.
Und weil V+W=VxW folgt |x+y|=|x x y| und demnach dim(V × W ) = dim V + dim W
So?

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V+W=VxW Das ist falsch

VxW ist die Menge aller Paare mit

1. Komponente in V und 2. in W.

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Könntest du vielleicht V x W ausformulieren, damit ich sehe was du meinst?