Habe extreme Probleme mit dieser Aufgabe. Hat hier jemand ein Lösungsweg den er erklären könnte?
Text erkannt:
Sei \( X \) eine nichtleere Menge und für jedes \( k \in \mathbb{N}_{0} \) sei \( \mathrm{d}_{k}: X \times X \rightarrow \mathbb{R} \) eine Metrik auf \( X \).
(i) Zeigen Sie, dass
\( \mathrm{d}: X \times X \rightarrow \mathbb{R}, \quad \mathrm{d}(x, y):=\sum \limits_{k=0}^{\infty} 2^{-k} \frac{\mathrm{d}_{k}(x, y)}{1+\mathrm{d}_{k}(x, y)} \)
eine Metrik auf \( X \) definiert.
(ii) Seien nun \( \left(x_{n}\right) \subseteq X \) eine Folge in \( X \) und \( x \in X \). Zeigen Sie, dass \( \left(x_{n}\right) \) genau dann gegen \( x \) in \( (X, \mathrm{~d}) \) konvergiert, wenn für jedes \( k \in \mathbb{N}_{0} \) auch \( \left(x_{n}\right) \) gegen \( x \) in \( \left(X, \mathrm{~d}_{k}\right) \) kon vergiert.
Text erkannt:
Seien \( (X,\|\cdot\|) \) ein normierter Vektorraum und \( A, B \subseteq X \). Man definiert die MinkowskiSumme von \( A \) und \( B \) durch
\( A+B=\{x \in X \mid \exists a \in A, b \in B: x=a+b\} . \)
(i) Sei \( B \) offen. Zeigen Sie, dass \( A+B \) offen ist.
(ii) Zeigen Sie, dass \( \bar{A}+\bar{B} \subseteq \overline{A+B} \).
