Zeige,dass eine Folge in X gegen x konvergiert, sobald jede ihrer Teilerfolgen eine Teilerfolge besitzt die gegen x …

Question

Aufgabe:

Sei X metrisch und x∈X.

Zeige,dass eine Folge in X gegen x konvergiert, sobald jede ihrer Teilerfolgen eine Teilerfolge besitzt die gegen x konvergiert.

Problem/Ansatz:

Nach Bolzano Weierstraß gilt jede beschränkte Zahlenfolgen besitzt eine konvergente Teilfolge.

Aus der Beschränktheit folgt die Konvergenz, dh doch das wir dann unsere Teilerfolge als Folge betrachten und dann davon nochmals eine Teilfolge und den Satz anwenden können ?

Answer 1

Aus der Beschränktheit folgt die Konvergenz,

Das stimmt so nicht, das gilt nur wenn außerdem "Monotonie" passend

bekannt ist.

z.B. ist (-1)^n beschränkt, aber nicht konvergent.

Hier ist wohl der Pfiff , dass bei JEDER Teilfolge eine konvergente

Teilfolge existiert.

Vermutlich geht das so in der Art:

Angenommen, die Vor. ist erfüllt für eine Folge (a_n)_n∈ℕ .

Dann besitzt sie eine Teilfolge, die gegen x konvergiert.

Betrachte nun ε_n = \( \frac{1}{n}\).

Wenn (a_n)_n∈ℕ nicht gegen x konvergiert, gilbt es zu jedem  ε_n

kein N, so dass |a_m-x|< ε_n für alle m>N gilt. Also gibt es zu jedem N

ein m>N mit |a_m-x|≥ ε_n. Wähle nun für jedes n so ein m und

definiere b_n :=a_m. Dann ist (b_n)_n∈ℕ eine Teilfolge von (a_n)_n∈ℕ

und alle ihre Teilfolgen konvergieren nicht gegen x. Widerspruch!