Zeige ord(M) element von {1,2,3,4,6}

Question

folgende Aufgaben:

Sei  M ∈ SL2(Z) ein Element von endlicher Ordnung und B={1, 2, 3, 4, 6}.

Wir sollen nun zeigen, dass ord(M) ∈ B

Ich würde mich über jede Hilfe freuen. :)

Comments

Ist das wirklich die Originalfragestellung?
Denn 2. folgt doch trivialerweise aus 1.

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Nein, in der Aufgabenstellung steht nur die Aufgabe 1. Wenns so ist dann lösche ich die Aufgabe 2. Danke:)

Hättest du eine Idee wie man die 1 zeigen kann?

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Oh die Frage lässt sich nicht bearbeiten :/

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Warum nicht ?

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Das weiß ich leider nicht. Ich kann es aber nicht mehr bearbeiten.

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Habe es für dich durchgeführt. So OK ?

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Ja dankeschön :)

Weißt du auch wie ich das zeigen kann?

Ich steh grad auf dem Schlauch.

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Leider noch nicht. Bin noch am Grübeln.

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Okay. Ich würde mich freuen wenn jemand helfen könnte :).

Answer 1

Hallo,

Sei \(A\in\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)\) von endlicher Ordnung \(n\). Dann hat \(A\) Determinate 1 und das charakteristische Polynom die Form \(x^2-sx+1\) wobei \(s\) sie Spur der Matrix ist. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton muss somit $$A^2-sA+\mathbb{I}=0$$ gelten. Dabei ist \(\mathbb{I}\) die Identitätsmatrix.

Dann benutzen wir noch, dass Eigenwerte von  Matrizen der Ordnung \(n\) immer \(n\)-te Einheitswurzeln sein müssen. Wenn dir das nicht klar ist betrachte mal was bei \(A^n(v)\) für einen entsprechenden Eigenvektor \(v\neq0\) herauskommt. \(s\) ist dann immer eine Summe aus 2 Eigenwerten (müssen nicht verschieden sein!). (Warum?)

Gleichzeitig muss \(s\) aber auch eine ganze Zahl sein. Daher kommen für die Spur \(s\) von \(A\) nur wenige Werte infrage (Warum und welche?). Nun muss man eine Fallunterscheidung über diese Möglichkeiten für \(s\) machen. Einen Fall zeige ich dir mal:

Fall 1: \(s=1\)
Dann ist also \(A^2-A+\mathbb I=0\) damit ist aber auch \(A^3+\mathbb I=(A+\mathbb I)(A^2-A+\mathbb I)=0\). Demnach also \(A^3=-\mathbb I\) und schließlich \(A^6=\mathbb I\). Damit ist die Ordnung von \(A\) ein Teiler von 6 und damit in \(B\). (Wenn man etwas mehr arbeitet sieht man sogar, dass die Ordnung genau 6 ist.)

Die anderen Fälle sind ähnlich, ich beantworte auch gerne weitere Fragen.

LG Dojima

Comments

Danke für deine Antwort :)

Könntest du vielleicht auch zeigen wie die anderen Fälle sind?

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Was sind denn die anderen Fälle?

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Seh ich leider nicht :/

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Also wenn \(s\) die Spur der Matrix ist, dann wissen wir folgende Sachen;

(1) \(s\) ist eine ganze Zahl

(2) \(s\) ist die Summe von 2 Eigenwerten von \(A\)

(3) Alle Eigenwerte von \(A\) sind Einheitswurzeln, d.h. wenn \(ßlambda\) Eigenwert von \(A\) ist, dann \(\lambda^n=1\) für ein \(n\in\mathbb{N}\) (Das geht nur weil die Ordnung von \(A\) endlich ist). Damit gilt also insbesondere \(|\lambda|=1\).

D.h. \(s=\lambda_1+\lambda_2\) für \(\lambda_1,\lambda_2\) Eigenwerte von \(A\). Was gilt dann für \(|s|\) und welche ganze Zahlen erfüllen diese Bedingung?

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Hmm ich komme jetzt auf 0 und 2?

Ich dacht mir -1 + 1 = 0 und -1 + (-1) = -2 und wegen |-2| = 2

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Das stimmt nicht ganz. Allgemein wissen wir ja nicht welche Ordnung \(A\) hat und damit auch nicht die wievielte Einheitswurzel die Eigenwerte sein müssen. Und es zählen hier auch komplexe Wurzeln. Allgemein wissen wir nur \(|s|\leq2\) (nach der Dreiecksungleichung). D.h. es kommen die Zahlen -2,-1,0,1,2 für \(s\) infrage.

Den Fall \(s=1\) habe ich ja schon gezeigt. Der Fall \(s=-1\) ist fast identisch aber man multipliziert mit \((A-\mathbb I)\). Es kommt Odnung 3 raus.

Für den Fall \(s=2\): \(A^2-2A+\mathbb I=(A-\mathbb I)^2=0\), also \(A=\mathbb I\) und hat damit Ordnung 1.
Der Fall \(s=-2\) ist wieder fast identisch und es kommt Ordnung 2 raus.

Im Fall \(s=0\) steht eigentlich alles da. Es kommt Ordnung 4 raus.

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Okay dankeschön :)

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Warum kann man denn aus \((A-\mathbb I)^2=0\) schließen, dass \(A=\mathbb I\) ist?

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\((A-\mathbb I)^2=0\) gdw \(A-\mathbb I=0\) gdw \(A=\mathbb I\)

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\( A = \begin{pmatrix} 1 &1 \\ 0 &1 \end{pmatrix} \)

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ja da war ich kurz bei Polynomen. Ich schau nochmal kurz ob ich den Fehler noch irgendwo gemacht habe und wie man ihn behebt.

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Ok, mein Fehler betrifft nur die Fälle \(s=-2,\,2\). Zufälligerweise stimmen die Ergebnisse trotzdem.

Man kann benutzen, dass das Minimalpolynom einer Matrix jedes andere Polynom teilt, das diese Matrix als Nullstelle hat.
Damit teilt das Minimalpolynom einer Matrix \(A\) insbesondere den ggT zweier Polynome mit \(A\) als Nullstelle. Der ggt von \(x^2-2x+2\) und \(x^n-1\) ist \(x-1\). Es folgt also \(A-\mathbb I=0\) und damit Ordnung \(A\)=1.

Für \(s=-2\) funktioniert es wieder ähnlich.