Hallo,
Sei \(A\in\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)\) von endlicher Ordnung \(n\). Dann hat \(A\) Determinate 1 und das charakteristische Polynom die Form \(x^2-sx+1\) wobei \(s\) sie Spur der Matrix ist. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton muss somit $$A^2-sA+\mathbb{I}=0$$ gelten. Dabei ist \(\mathbb{I}\) die Identitätsmatrix.
Dann benutzen wir noch, dass Eigenwerte von Matrizen der Ordnung \(n\) immer \(n\)-te Einheitswurzeln sein müssen. Wenn dir das nicht klar ist betrachte mal was bei \(A^n(v)\) für einen entsprechenden Eigenvektor \(v\neq0\) herauskommt. \(s\) ist dann immer eine Summe aus 2 Eigenwerten (müssen nicht verschieden sein!). (Warum?)
Gleichzeitig muss \(s\) aber auch eine ganze Zahl sein. Daher kommen für die Spur \(s\) von \(A\) nur wenige Werte infrage (Warum und welche?). Nun muss man eine Fallunterscheidung über diese Möglichkeiten für \(s\) machen. Einen Fall zeige ich dir mal:
Fall 1: \(s=1\)
Dann ist also \(A^2-A+\mathbb I=0\) damit ist aber auch \(A^3+\mathbb I=(A+\mathbb I)(A^2-A+\mathbb I)=0\). Demnach also \(A^3=-\mathbb I\) und schließlich \(A^6=\mathbb I\). Damit ist die Ordnung von \(A\) ein Teiler von 6 und damit in \(B\). (Wenn man etwas mehr arbeitet sieht man sogar, dass die Ordnung genau 6 ist.)
Die anderen Fälle sind ähnlich, ich beantworte auch gerne weitere Fragen.
LG Dojima