Beweis Darstellende Matrizen

Question

Seien W und V K-Vektorräume und b = (b₁,...,b_n) eine endliche Basis von W, a = (a₁,...,a_n) eine endliche Basis von V. Dann ist

M^a_b:Hom_K(W,V) → Μ_m,n(K), f ↦ M^a_b(f)

eine K-lineare, bijektive Abbildung.

Kann mir jemad erklären wie ich vorgehen muss, ich habe leider keine Idee

Answer 1

Aloha :)

Da \(B=(\vec b_1,\ldots,\vec b_n)\) eine Basis von \(W\) ist, gibt es eine Transformationsmatrix \({_B}\mathbf{id}_S\) aus der Standardbasis \(S\) des \(n\)-dimensionalen Vektorraums in die Basis \(B\), bestehend aus den Elementen von \(b\) als Spaltenvektoren:$${_B}\mathbf{id}_S=(\vec b_1,\ldots,\vec b_n)$$Dasselbe gilt für die Basis \(A=(\vec a_1,\ldots,\vec a_n)\) des Vektorraums \(V\):$${_A}\mathbf{id}_S=(\vec a_1,\ldots,\vec a_n)$$

Da diese beiden Transformationsmatrizen die linear unabhängigen Basisvektoren von \(a\) bzw. \(b\) enthalten, sind beide Transforamtionsmatrizen invertierbar.

Damit können wir die Übergangsmatrix von \(a\) nach \(b\) formulieren:$$M^a_b={_B}\mathbf{id}_S\cdot{_S}\mathbf{id}_A={_B}\mathbf{id}_S\cdot\left({_A}\mathbf{id}_S\right)^{-1}$$

Nach dem Determinanten-Multiplikationssatz gilt nun:$$\operatorname{det}\left(M^a_b\right)=\operatorname{det}\left({_B}\mathbf{id}_S\cdot\left({_A}\mathbf{id}_S\right)^{-1}\right)=\underbrace{\operatorname{det}\left({_B}\mathbf{id}_S\right)}_{\ne0}\cdot\underbrace{\operatorname{det}\left(\left({_A}\mathbf{id}_S\right)^{-1}\right)}_{\ne0}\ne0$$

Damit ist auch \(M^a_b\) invertierbar und somit bijektiv.