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Sei \( (X, \mathcal{A}, \mu) \) ein Maßraum. Sei \( f: X \rightarrow[-\infty, \infty] \) eine Funktion. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) Die Funktion \( f \) ist messbar bzgl. \( \mathcal{A} \)
(ii) \( f^{-1}(B) \in \mathcal{A} \) für alle Borelmengen \( B \in \mathcal{B} \) und \( f^{-1}(\{\infty\}) \in \mathcal{A} \).
(iii) \( f^{-1}(O) \in \mathcal{A} \) für alle offenen Mengen \( O \subset \mathbb{R} \) und \( f^{-1}(\{\infty\}) \in \mathcal{A} \).
Hinweis: Aufgabe 1. Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass \( \mathcal{B}=\sigma(\mathcal{E}) \) für \( \mathcal{E}=\{(c, \infty): c \in \) \( \mathbb{R}\} \) für die Borel- \( \sigma \)-Algebra auf \( \mathbb{R} \) gilt.
