Gegeben sind die Funktionen f(x)=x^2+4 und g(x)=x^2-5x+6.

Question

a) Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f für x=-1,5.

b) h(x)=3x+a beschreibt die Tangente an den Graphen von g im Punkt P. Berechne a und P.

c) Bestimme den Anstieg von f bei x₀=1 mit Hilfe des Differenzenquotients.

d) Welche Gerade schneidet den Graphen der Funktion k(x)=x^-1 im Punkt P(1/1) unter einem rechten Winkel.

e) Zusatz: Berechne lim_x-->∞f(x)/g(x).

f) Zeige, dass sich die Tangenten in den Schnittpunkten der Graphen von f und g unter den gleichen Winkeln schneiden.

Answer 1

f(x) = x^2 + 4 und g(x) = x^2 - 5x + 6

a) Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f für x=-1,5.

t(x) = f'(1.5)·(x - 1.5) + f(1.5)
t(x) = 3·x + 7/4

b) h(x)=3x+a beschreibt die Tangente an den Graphen von g im Punkt P. Berechne a und P.

g'(x) = 3
2·x - 5 = 3
x = 4

t(x) = g'(4)·(x - 4) + g(4)
t(x) = 3·x - 10

c) Bestimme den Anstieg von f bei x₀=1 mit Hilfe des Differenzenquotients.

Ich betrachte im folgenden den Grenzwert für h --> 0

m = (f(x+h) - f(x))/h
m = (((x + h)^2 + 4) - (x^2 + 4))/h
m = ((x^2 + 2·h·x + h^2 + 4) - (x^2 + 4))/h
m = (x^2 + 2·h·x + h^2 + 4 - x^2 - 4)/h
m = (2·h·x + h^2)/h
m = 2·x + h
m = 2·x

Wenn jetzt x = 1 ist gilt

m = 2·1 = 2

d) Welche Gerade schneidet den Graphen der Funktion k(x) = x^-1 im Punkt P(1/1) unter einem rechten Winkel.

n(x) = -1/f'(1) * (x - 1) + 1
n(x) = x

e) Zusatz: Berechne lim_x-->∞f(x)/g(x).

f(x)/g(x) = (x^2 + 4)/(x^2 - 5x + 6) = 1 + (5·x - 2)/(x^2 - 5x + 6)

lim x-->∞ f(x)/g(x) = 1

f) Zeige, dass sich die Tangenten in den Schnittpunkten der Graphen von f und g unter den gleichen Winkeln schneiden.

Schnittstellen f(x) = g(x) 

x^2 + 4 = x^2 - 5x + 6
x = 2/5

Die Aufgabe ist unklar. Ich finde hier doch nur einen Schnittpunkt.