Aloha :)
Du hast Recht, dass \((\,i=\sqrt{-1}\,)\) falsch ist, auch wenn es oft so verwendet wird. Richtig ist hingegen \((i^2=-1)\). Daher gilt:$$\sqrt{-9}=\sqrt{(-1)\cdot9}=\sqrt{i^2\cdot3^2}=\sqrt{(3i)^2}=3i$$
Bei komplexen Zahlen musst du mit den Exponenten aufpassen. Das Problem erkennst du, wenn du dir eine komplexe Zahl in Polardarstellung ansiehst \(\left(z=r\cdot e^{i\varphi}\right)\). Die \(q\)-te Potenz davon ist:$$z^q=r^q\cdot e^{i\,q\cdot\varphi}$$
Der Fehler ist nun, dass von dem Polarwinkel \(q\cdot\varphi\) ausreichend oft \(2\pi\) subtrahiert wird, um in das Intervall \([0|2\pi]\) bzw. \([-\pi|\pi]\) zu gelangen. Das passiert ganz automatisch, sobald du die Winkelfunktionen verwendest. Man vernichtet dadurch die wichtige Information, wie viele volle Umdrehungen der Polarvektor in welcher Richtung absolviert hat. Wenn du dann z.B. die Wurzel aus einer komplexen Zahl ziehst, wird der (verstümmelte) Polarwinkel halbiert, anstatt der tatsächliche.
Im Prinzip ist die Vorstellung von der Gauß'schen Zahlenebene unvollständig. Ich denke mir die Ebene um eine dritte Dimension erweitert. Mit jeder vollständigen Umdrehung geht der Polarvektor in dieser dritten Dimension eine Einheit nach oben bzw. nach unten. Er beschreibt quasi eine Schraubenbahn.