Wie ziehe ich aus einer negativen Zahl die Quadratwurzel?

Question

Hallo,

Folgendes Problem, ich möchte  \( \sqrt{-9} \)

berechnen. Natürlich ist dies nur in den komplexen Zahlen definiert, aber wie kann ich das Ergebnis 3i erhalten? Mein Problem, ist dass ich nicht i = sqrt(-1) verwenden kann, weil das falsch ist und falls ich -9 = 9 * e^(pi*i) verwende habe ich eine Wurzel und weiß nicht ob ich hierauf die Potenzgesetze anwenden kann. Das bringt mich auf folgende Fragen?

1. Welche Potenzgesetze gelten bei einer komplexen Zahl als Basis, wenn der Exponent natürlich, ganz, rational, reell, komplex ist?

2. Wenn die Basis die Exponentialfunktion ist, gelten dann im Sinne der Potenzgesetze Ausnahmen?

Danke!

Answer 1

Aloha :)

Du hast Recht, dass \((\,i=\sqrt{-1}\,)\) falsch ist, auch wenn es oft so verwendet wird. Richtig ist hingegen \((i^2=-1)\). Daher gilt:$$\sqrt{-9}=\sqrt{(-1)\cdot9}=\sqrt{i^2\cdot3^2}=\sqrt{(3i)^2}=3i$$

Bei komplexen Zahlen musst du mit den Exponenten aufpassen. Das Problem erkennst du, wenn du dir eine komplexe Zahl in Polardarstellung ansiehst \(\left(z=r\cdot e^{i\varphi}\right)\). Die \(q\)-te Potenz davon ist:$$z^q=r^q\cdot e^{i\,q\cdot\varphi}$$

Der Fehler ist nun, dass von dem Polarwinkel \(q\cdot\varphi\) ausreichend oft \(2\pi\) subtrahiert wird, um in das Intervall \([0|2\pi]\) bzw. \([-\pi|\pi]\) zu gelangen. Das passiert ganz automatisch, sobald du die Winkelfunktionen verwendest. Man vernichtet dadurch die wichtige Information, wie viele volle Umdrehungen der Polarvektor in welcher Richtung absolviert hat. Wenn du dann z.B. die Wurzel aus einer komplexen Zahl ziehst, wird der (verstümmelte) Polarwinkel halbiert, anstatt der tatsächliche.

Im Prinzip ist die Vorstellung von der Gauß'schen Zahlenebene unvollständig. Ich denke mir die Ebene um eine dritte Dimension erweitert. Mit jeder vollständigen Umdrehung geht der Polarvektor in dieser dritten Dimension eine Einheit nach oben bzw. nach unten. Er beschreibt quasi eine Schraubenbahn.

Comments

Danke! Frage: Wie rechtfertig man das letzte „="?

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Das ist die Definition der komplexen Wurzel:$$\sqrt{z^2}=\left\{\begin{array}{rl}z & \text{falls }\operatorname{arg}(z)\in[0;\pi)\\[1ex]-z & \text{falls }\operatorname{arg}(z)\in[\pi;2\pi)\end{array}\right.$$

In unserem Fall ist \(\operatorname{arg}(3i)=\frac\pi2\).

Answer 2

√ -9 = √ 9 * √ -1 = 3 * √ -1 = 3 * i

Comments

Warum ist diese Umformung zulässig? Ich meine, wenn ich z.B rechne 1 = sqrt(1) = sqrt((-1)*(-1)) = sqrt((e^(pi*i) * e^(pi*i))

= sqrt((e^(2pi*i)) = e^(pi*i) = -1

Also einen Widerspruch.