Spurgeraden einer Ebene berechnen

Question

Aufgabe:

Spurgeraden einer Ebene berechnen

Problem/Ansatz:

Ich bin gerade an folgender Aufgabe und habe bereits die beiden Spurpunkte ausgerechnet: Sx(8/0/0/), Sy(0/4/0)

Aufgabe 1:
Berechnen Sie die Koordinaten der Spurpunkte Der Ebene E.
Bestimmen Sie die Gleichungen der Spurgeraden der Ebene E. Die Spurgeraden sind die Verbindungsgeraden der Spurpunkte in einer Koordinatenebene.
\( E: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -5 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \)

Nun würde ich gerne die Spurgeraden berechnen. Jedoch ist mir der Lösungsweg nicht klar ... In der Lösung steht, dass es nur eine Spurgerade gibt. Wenn ich jetzt jedoch die x, y oder z Stelle der  Ebenengleichung mit 0 gleichsetze, erhalte ich doch immer eine potentielle wahre Aussage, mit der ich dann einen der beiden Parameter s und r ausklammern kann und auf eine Spurgerade komme ...

Wie merke ich, dass es nur eine Spurgerade gibt, ich mache anscheinend irgendetwas falsch..

Answer 1

habe bereits die beiden Spurpunkte ausgerechnet: Sx(8/0/0/), Sy(0/4/0)

Richtig.

Hast du auch den Spurpunkt Sz ausgerechnet?

Wenn ich jetzt jedoch die x, y oder z Stelle der Ebenengleichung mit 0 gleichsetze, erhalte ich doch immer eine potentielle wahre Aussage

Zur Berechnung eines Spurpunktes einer Ebene musst du aber zwei dieser Stellen mit 0 gleichsetzen. Das Gleichungssystem, dass du dann bekommst, hat eventuell keine Lösung obwohl jede einzelne Gleichung eine Lösung hat.

Wie merke ich, dass es nur eine Spurgerade gibt,

Das merkst du daran, dass es nur zwei Spurpunkte gibt.

Comments

Die beiden Spurpunkte habe ich wie bereits erwähnt schon berechnet, indem ich zwei Koordinatenachsen 0 gesetzt habe. Einen Spurpunkt Sz gibt es nicht. Jetzt geht es mir aber um die Berechnung der Spurgeraden, dort kriege ich nämlich 3 Lösungen raus, wenn ich die jeweiligen Achsen der Ebenen 0 setze. Es gibt jedoch nur eine Spurgerade laut Lösung.

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Die Spurgeraden sind die Verbindungsgeraden der Spurpunkte

Du kannst Sx und Sy verbinden um eine Spurgerade zu bekommen.

Du könntest Sx und Sz verbinden um eine zweite Spurgerade zu bekommen. Aber es gibt ja kein Sz. Also auch keine entsprechende Spurgerade.

Du könntest Sy und Sz verbinden um eine dritte Spurgerade zu bekommen. Aber es gibt ja kein Sz. Also auch keine entsprechende Spurgerade.

Mehr als drei Spurgeraden kann es nicht geben.

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Danke, das hat mir das nochmal verdeutlicht. Aber wie kriege ich rechnerisch nur diese eine Spurgerade?

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Ich weiß nicht ob ich deine Frage richtig verstanden habe. Du möchtest wissen, wie man die Parameterdarstellung einer Geraden aufstellt, von der man zwei Punkte kennt?

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Also in der Erläuterung steht, dass man wenn man die Spurgerade einer Koordinaten-Ebene Berechnen möchte, man die Achse, welche nicht auf der Ebene liegt 0 setzt.

Vgl: https://youtu.be/a8aJh2hpbXg

Ich erhalte jedoch wenn ich so vorgehe komischerweise 3 "Spurgeraden", wovon jedoch keine einzige mit der Lösung (es gibt ja nur eine in Wahrheit) übereinstimmt.

Gerne sende ich gleich mal ein Bild meiner Rechnung:

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Laut Wikipedia: Eine Spurgerade nennt man ... die Schnittgerade zwischen einer Ebene im Raum und einer Grundebene des räumlichen Koordinatensystems.

Diese Definition von Spurgerade wird auch in dem Video zugrunde gelegt.

Die Spurgeraden sind die Verbindungsgeraden der Spurpunkte in einer Koordinatenebene.

Die Definition ist nicht gleichwertig zu der Definition auf Wikipedia und der im Video.

Ich erhalte jedoch wenn ich so vorgehe komischerweise 3 "Spurgeraden",

Zwei davon verlaufen parallel zur \(z\)-Achse.

wovon jedoch keine einzige mit der Lösung (es gibt ja nur eine in Wahrheit) übereinstimmt.

Es gibt verschiede Parameterdarstellungen für die gleiche Gerade.

Als Parameterdarstellung der Gerade durch die Punkte \(A\) und \(B\) wird üblicherweise

        \(\vec{x}=\vec{OA} + t\cdot \vec{AB}\)

angegeben. Man kann aber \(\vec{OA}\) durch den Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden ersetzen und als Richtungsvektor kann man auch ein beliebiges Vielfache von \(\vec{AB}\) verwenden (außer das nullfache).

Gäbe es keine unterschiedlichen Parameterdarstellungen für die selbe Gerade dann würde bei der Untersuchung der Lage von Geraden der Fall "Die Geraden sind identisch" nicht vorkommen.

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Alles klar. Das mit der anderen Darstellung habe ich verstanden. Wieso bekomme ich als Richtungsvektor bei den beiden vermeintlichen Spurgeraden, die dann aber doch keine sind den Vektor (0/0/5) heraus? Dann würden diese Geraden doch parallel zur Z-Achse laufen, wieso das?

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Dann würden diese Geraden doch parallel zur Z-Achse laufen

Die eine liegt in der \(xz\)-Ebene, die andere in der \(yz\)-Ebene. Es sind also Spurgeraden im Sinne von Wikipedia.

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Okay und woran genau erkenne ich, dass diese beiden Geraden keine Spurgeraden sind? Weil beide parallel zur Z-Achse laufen?

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Wieso wären das im Sinne von Wikipedia dennoch 2 Spurgeraden? Ich meine, in einer senkrechten Gerade auf einer Koordinatenebene können doch keine 2 Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen verbunden werden

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Okay und woran genau erkenne ich, dass diese beiden Geraden keine Spurgeraden sind?

Weil sie parallel zur \(z\)-Achse sind und nicht mir der \(z\)-Achse identisch sind.

Wieso wären das im Sinne von Wikipedia dennoch 2 Spurgeraden?

Weil sie in der Ebene \(E\) liegen und in der \(xz\)- bzw. \(yz\)-Ebene liegen.