Zeigen, dass eine Funktion eine Metrik bildet.

Question

Aufgabe:

Sei für die Menge X die Funktion d : X × X → R≥0 eine Metrik und φ : R≥0 → R≥0 eine
monoton steigende Funktion mit φ(0) = 0 und der Eigenschaft: φ(x+y)≤φ(x)+φ(y) ∀x,y∈R.
Zusätzlich sei φ nicht die konstante Nullfunktion. Zeigen Sie, dass die Funktion d ̃ : ̃
X × X → R≥0, (v, w) → d‘(v, w) = φ (d(v, w)) ebenfalls eine Metrik auf X bildet.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich die 3 Metrik Eigenschaften mit:

1. φ (d(v, w))>= 0, (x=y)

2. φ (d(v, w)) φ (d(w, v))

3. φ (d(v, z)) <= φ (d(v, w)) + φ (d(w, z))

nachweisen muss, habe jedoch absolut keinen Plan wie. Danke im Voraus!

Comments

Das ist eigentlich alles ziemlich straightforward. Nur die Eigenschaft bei 1, dass =0 <=> x=y erfordert etwas Nachdenken. Schau aber erst einmal ob du den Rest hinbekommst