Partielle Ableitungen nach x_{1} und x_{2}

Question

Aufgabe:

Partielle Ableitung 1 und 2 nach x1 und x2.

\( f\left(x_{1}, x_{2}\right)=-3 x_{1}+2 x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}-5 x_{2}^{2}+3 x_{1}^{2} x_{2}+1 x_{1} x_{2}^{2}+5 x_{2}^{3} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe es schon mehrmals versucht und komme leider nicht auf die richtigen Ableitungen, bitte um Hilfe! Vielen Dank.

Answer 1

f(x, y) = - 3·x + 2·x^2 + 2·x·y - 5·y^2 + 3·x^2·y + 1·x·y^2 + 5·y^3

Gradient

f'(x, y) = [6·x·y + 4·x + y^2 + 2·y - 3, 3·x^2 + 2·x·y + 2·x + 15·y^2 - 10·y]

Hesse-Matrix

f''(x, y) = [6·y + 4, 6·x + 2·y + 2; 6·x + 2·y + 2, 2·x + 30·y - 10]

Comments

Verzeihung für die Verwirrung!

Die -2 für f"11 stimmt. Dadurch wäre die Determinante 40 und die Funktion an dieser Stelle weder konvex noch konkav, richtig?

---

Ich habe [-2, 6; 6, -38] bei der Hesse-Matrix an der Stelle (1, -1) heraus. Prüfst du das mal. Damit wäre die Funktion an der Stelle negativ definit.

---

Konkav meine ich, da f"11 und f"22 kleiner gleich 0 sind. Oder?

---

Wenn du das Kriterum von Sylverster meinst dann musst du die Hauptminoren betrachten:

http://www.massmatics.de/merkzettel/#!210:Das_Kriterium_von_Sylvester

Demzufolge sollte die Funktion dort konkav sein.

Answer 2

Aloha :)

$$f(x;y)=-3x+2x^2+2xy-5y^2+3x^2y+xy^2+5y^3$$$$\partial_x f(x;y)=-3+4x+2y+6xy+y^2$$$$\partial_y f(x;y)=2x-10y+3x^2+2xy+15y^2$$$$\partial_{xx}f(x;y)=4+6y$$$$\partial_{xy}f(x;y)=2+6x+2y$$$$\partial_{yx}f(x;y)=2+6x+2y$$$$\partial_{yy}f(x;y)=-10+2x+30y$$

Die Hesse-Matrix im Punkt \((1|-1)\) lautet:$$H(1;-1)=\left(\begin{array}{rr}-2&6\\6 & -38\end{array}\right)$$

Die Hauptminoren sind \((D_1=-2)\) und \((D_2=40)\). Daher ist die Hesse-Matrix negativ definit und die Funktion an der Stelle \((1;-1)\) konkav.

Comments

Vielen Dank!

An der Stelle (x,y)=(1,-1) habe ich folgende Beträge für die Hesse-Matrix f" (1,-1) erhalten:

-2 6

6 -38

Mit der Determinante 40.

An dieser Stelle ist die Funktion konkav.

---

Ich habe meine Antwort wegen deiner Nachfrage ergänzt ;)

Answer 3

Hier die Lösungen

So schwer dünkt mir das partielle Ableiten aber
nicht.
Ersetze noch x = x1, y = x2
Oder was ist dein Begehr ?