Zeigen: Summe Projektionen wieder Projektion

Question

Ich habe (mal wieder) eine Aufgabe, zu der mir kein Ansatz einfällt...

Aufgabe:

Gegeben sind zwei Projektionen f,g:V→V (wobei V ein ℝ-Vektorraum ist). Nun soll ich beweisen, dass f+g genau dann eine Projektion ist, wenn Im f eine Teilmenge von Ker g und Im g eine Teilmenge von Ker f.

Komme damit nicht wirklich weiter :( klar ist nur, dass ich beide Richtungen zeigen muss (weil Äquivalenz). Vielleicht hat ja aber jemand einen Tipp/ Hilfe für mich?

Answer 1

Die eine Richtung wohl so:

Wenn f+g eine Projektion sein soll, dann muss ja

(f+g)o(f+g) = f+g gelten.    #

Also für alle v∈V  (f+g)o(f+g) (v) = (f+g)(v)

Das kann man ja mal nachrechnen:

(f+g)o(f+g) (v) = (f+g)((f+g) (v)) = (f+g)(f(v)+g(v)) 

= f(f(v)+g(v))+ g(f(v)+g(v))  

Und weil Projektionen sind, sind es lineare Abb'en und du hast

= f(f(v))+f(g(v))+ g(f(v))+g(g(v)) 

wieder wegen Projektion

= f(v)+f(g(v))+ g(f(v))+g(v)

= f(v)+g(v)+f(g(v))+ g(f(v))

=(f+g)(v) +f(g(v))+ g(f(v))

# ist also genau dann erfüllt, wenn

f(g(v))+ g(f(v)) = 0 für alle v∈V.

Wenn Im f eine Teilmenge von Ker g ist ,

gilt also f(v)∈Ker g, also     g(f(v)) = 0 .

Entsprechend folgt aus " Im g eine

Teilmenge von Ker f ist " auch f(g(v))=0

Also in der Tat: f(g(v))+ g(f(v)) = 0 für alle v∈V.

Answer 2

Ich rechne im Endomorphismenring \(\operatorname{End}(V)\). Statt \(f\circ g\) schreibe ich \(fg\).

Wenn \(f\) und \(g\) Projektionen sind und \(f+g\) ebenfalls, muss gelten

\(f+g=(f+g)^2=f^2+fg+gf+g^2=f+g+fg+gf\), also \(fg+gf=0\).

Hieraus folgt

1. \((fg)(fg)=f(gf)g=f(-fg)g=-fg\), entsprechend
2. \((gf)(gf)=-gf\)

Andererseits ist \((gf)(gf)=(-gf)(-gf)=(fg)(fg)=-fg=gf\),

also \(gf=-gf\), also \(gf=0\), folglich \(\operatorname{Im} (f)\subset \operatorname{Ker} (g)\)

und analog \(\operatorname{Im}(g)\subset \operatorname{Ker}(f)\),

q.e.d.