Beweis durch Umformung | Produktregel

Question

Zeigen Sie, dass auf einem Intervall \( I \) für \( f, g \in \mathcal{C}^{\infty}(I) \)
\( \begin{array}{l} (f g)^{\prime \prime}=f^{\prime \prime} g+2 f^{\prime} g^{\prime}+f g^{\prime \prime} \text { und } \\ (f g)^{\prime \prime \prime}=f^{\prime \prime \prime} g+3 f^{\prime \prime} g^{\prime}+3 f^{\prime} g^{\prime \prime}+f g^{\prime \prime \prime} \end{array} \)

für das erste habe ich folgendes schon versucht:

(f*g) = ((f) * g)'' = (f)'' * g + f * (g)'' = (f'' + g '') * g + f * g'' = f'' * g + g'' * g + f * g''

das ist ja Offensichtlich falsch, kann mir jemand sagen ab welcher stelle ich den Fehler mache?

Answer 1

Hallo,

Du kennst die Produktregel: \((fg)'=f'g+fg'\). Um nun die 2. Ableitung \((fg)''\) zu berechnen, wendet man diese Produktregel wieder auf die einzelnen Summanden der ersten Ableitung an:

$$(fg)''=(f'g+fg')'=(f''g+f'g')+(f'g'+fg'')=f''g+2f'g'+fg''$$

Und genauso geht man für die 3. Ableitung vor ....

Gruß Mathhilf