5x5 Matrix bilden zu einer Vorgegebenen Determinante

Question

Aufgabe: 5x5 Matrix bilden zu einer Vorgegebenen Determinante

Problem/Ansatz: Aufgabenstellung ist eine eine 5x5 Matrix zu bilden, wobei die Determinante einen bestimmten Wert (in diesem Beispiel -20) annehmen soll. Zudem darf kein Element der Matrix = 0 sein, d.h. muss von Null verschieden sein.
Gibt es hierzu einen Schritt für Schritt Lösungsansatz?
Danke im Voraus

Answer 1

Man nehme eine Matrix deren Determinante ≠ 0 eine Variable enthält

z.B.

$\small A=\left(\begin{array}{rrrrr}n&n - 1&n - 2&n - 3&n - 4\\n - 1&n&n - 1&n - 2&n - 3\\n - 2&n - 1&n&n - 1&n - 2\\n - 3&n - 2&n - 1&n&n - 1\\n - 4&n - 3&n - 2&n - 1&n\\\end{array}\right)$

===>

det(A)= 16 * n - 32 = -20

==>

n = 3/4

Comments

Hallo wächter,

das ist eine schöne Lösung. Sie hat aber z.B. bei vorgegebener

Determinante 4 das Problem 8n-12=4, also n=2 und daher

sind die Einträge n-2 in der Matrix nicht alle ungleich 0.

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Ach, ich hab mich verkopiert die Determinante (von A₄ angegeben)

det(A₅)= 16 * n - 32

aber das ändert nix an der Aussage, das sich Determinaten konstruieren lassen, die zu Nullen in A führen...

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Ja, habe gerade deine Determinante nachgerechnet

und bin auch auf 16n-32. Schade, dass das Nullenproblem
nicht verschwunden ist. Denn deine Matrix hatte schon was ;-)

Answer 2

Ich würde so vorgehen:

1. Bilde eine untere Dreiecksmatrix, deren Diagonalelemente alle = 1 sind:

$(a_{ij})$ mit $a_{ij}=1$, falls $j\leq i$ und

$a_{ij}=0$, falls $j\gt i$ ist.

Dann ist $\det((a_{ij}))=a_{11}\cdot a_{22}\cdot \cdots \cdot a_{55}=1$.

2. Für $j=5,4,3,2$ in dieser Reihenfolge addiere die Summe der

Spalten $1,\cdots,j-1$ zur Spalte $j$. Dadurch ändert sich der Wert

der Determinante nicht (Scherungsinvarianz).

3. Multipliziere z.B. Spalte 1 mit dem gewünschten Determinantenwert.

Nun ist

$\det\left(\begin{array}{ccccc}d&1&1&1&1\\d&2&2&2&2\\d&2&3&3&3\\d&2&3&4&4\\d&2&3&4&5\end{array}\right)=d$