Beweis: Sind diese Teilmengen offen?

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie bei folgenden Teilmengen
a) A = {4,8,16,...} ⊂ R
b) B = {z ∈ C | |z|2 ≥ 1} ⊂ C
c) C = {(x, y); | x = y} ⊂ R2
d) D={(x,y);0<x2 +y2 <1}⊂R2
welche offen sind bzgl. der Standardmetrik. Beweisen und Begründen Sie Ihre Aussagen.

Problem/Ansatz:

Es würde an sich reichen wenn mir jemand für eine Teilaufgabe eine Lösung gibt, wenn ich die Methode ähnlich auf die anderen anwenden kann.

Answer 1

\(A\) ist nicht offen, weil keine Umgebung von \(4\) Teilmenge von \(A\) ist.

\(D\) ist offen, weil die \((1-\sqrt{x^2+y^2})\)-Umgebung von \((x,y)\in D\) oder die \(\sqrt{x^2+y^2}\)-Umgebung von \((x,y)\in D\) Teilmenge von \(D\) ist.

Answer 2

Eine offene Menge in einem normierten Raum

ist eine, bei der es zu jedem Element noch eine ganze

Umgebung gibt, die in der Menge liegt.

Bei a) ist das offenbar nicht der Fall, bei b)

auch nicht (Betrachte ein Element vom Betrag 1)

c) auch nicht (Bei jedem Punkt mit x=y gibt es in jeder

Umgebung auch Punkte mit x≠y z.B. (x,x+ε)

d) ist offen.

Comments

Kannst du mir bitte erklären, warum a) offenbar nicht der Fall ist?

Die Teilmengen 4, 8, 12, ..., unendlich

Ist das nicht so, dass unendlich nicht in den reelen Zahlen enthalten ist, also eine Umgebung, die nich in der Menge liegt. Ist das eigentlich der Grund?