Funktion finden mittels f(x) + f(x+1) = 2x+1

Question

Aufgabe:

f(x) = 2x + 1 - f(x+1)

und es gilt f(4) = 2

Problem/Ansatz:

Was ich jetzt versucht hätte ist : | + f(x+1)

f(x) + f(x+1) = 2x + 1

Eine Funktion die das erfüllt wäre zB f(x) = x , allerdings stimmt dann die Bedingung f(4) = 2 nicht mehr.

Wie könnte man hier vorgehen ?

Answer 1

f(x) = 2x + 1 - f(x+1)

f(x+1) = 2x + 1 - f(x)

f(5) = 4*2 + 1 - f(4) = 7
f(6) = 5*2 + 1 - f(5) = 4
f(7) = 6*2 + 1 - f(6) = 9
f(8) = 7*2 + 1 - f(7) = 6
f(9) = 8*2 + 1 - f(8) = 11

d.h.

f(x) = x-2 für x gerade

f(x) = x+2 für x ungerade

f(x) = x - 2 * (-1)^x

Überprüfung:

\( (x+1) - 2 *  (-1)^{x+1} = 2x +1 - (x - 2 * (-1)^{x}) \)

\(- 2 *  (-1)^{x+1}  = x - (x - 2 *  (-1)^{x} ) \)

\(- 2 *  (-1)^{x+1}  = 2 *  (-1)^{x} \)

\( -(-1)^{x+1}  = (-1)^{x} \)

Answer 2

Hallo,

ich versuche es einfach mal.

Vielleicht hilft es ja, ein paar Punkte zu suchen.

f(x) = 2x + 1 - f(x+1)

und es gilt f(4) = 2

x=3 → f(3)=2*3+1-f(4)=5

x=2 → f(2)=2*2+1-f(3)=0

x=1 → f(1)=2*1+1-f(2)=3

x=0 --> f(0)=2*0+1-f(1)=-2

...

:-)

Answer 3

$$ f(x) + f(x+1) = 2x + 1\\ \Leftrightarrow\\ f(x) + f(x+1) = x + \left(x + 1\right) $$ So wird die Sache ein wenig übersichtlicher.