Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix B

Question

Sei \( \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \varphi(x)=\left(\begin{array}{c}2 x_{1}-x_{2} \\ 4 x_{1}+3 x_{3}\end{array}\right) \)

Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix \( B_{\mathcal{E}_{3}}^{\mathcal{V}} \) und geben \( \operatorname{Sie}\left(B_{\mathcal{E}_{3}}^{\mathcal{V}}\right)_{1,3} \) an.
\( \left(B_{\mathcal{E}_{3}}^{\mathcal{V}}\right)_{1,3}= \)

Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix \( B_{\mathcal{V}}^{\mathcal{E}_{3}} \) und geben \( \operatorname{Sie}\left(B_{\mathcal{V}}^{\mathcal{E}_{3}}\right)_{1,3} \) an.
\( \left(B_{\mathcal{V}}^{\mathcal{E}_{3}}\right)_{1,3}= \)

Comments

Für Deine Frage bräuchte man V, phi ist überflüssig.

Answer 1

Aloha :)

Ich nehme an, die Basis \(\nu\) ist dieselbe wie aus deiner vorigen Frage:

https://www.mathelounge.de/941599/bestimmen-sie-die-matrixdarstellung

Das heißt:$$\nu=\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right)$$

Die Koordinaten der Basisvektoren in \(\nu\) sind bezüglich der Standardbasis \(E_3\) angegeben. Daher kannst du die Basiswechselmatrix von \(\nu\) nach \(E_3\) sofort angeben:$$B_{E_3}^\nu=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & \red1\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Das gesuchte Element bei \((1;3)\) habe ich rot markiert, es ist die \(\red 1\).

In die umgekehrte Richtung wird mittels der Inversen transformiert:$$B_\nu^{E_3}=\left(B_{E_3}^\nu\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & \red{-1}\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Das gesuchte Element bei \((1;3)\) ist wieder rot markiert, es ist diesmal \((\red{-1})\).