Reelle quadratische Form mit antisymmetrischer Anteil von Matrix ist null

Question

Aufgabe:Eine reelle quadratische Form ist definiert als Q(x) ≡ x^TAx = x_iA_ijx_j mit A_ij, x_i ∈ R.

a) Zeigen Sie, dass der antisymmetrische Anteil der Matrix A keinen Beitrag liefert. Daraus folgt, dass A reelle Eigenwerte und orthogonale Eigenvektoren besitzt.

b) Seien v_i die normierten Eigenvektoren von A = A^T und α⁽ⁱ⁾ die zugehörigen Eigenwerte, dann gilt A = α⁽ⁱ⁾v_iv_i^T. Nutzen Sie die v_i und α⁽ⁱ⁾, um neue Koordinaten x′_i = B_ijx_j (mit einer orthogonalen Basistransformation B) und Koeffizienten λ⁽ⁱ⁾ zu bestimmen, sodass

Q'(x′) = λ⁽¹⁾x′ ₂ + λ⁽²⁾x′₂ + . . . + λ⁽ⁿ⁾x′₂

mit Q'(x') = Q(x)

Problem/Ansatz:

Für Aufgabe a) wäre mein Ansatz für die Matrix A ihren antisymmetrischen Anteil A_A = 1/2(A - A^T) und würde dann rausbekommen 1/2*(x_i(A_ij - A_ji)x_j) = 1/2*(A_ijx_ix_j - A_jix_ix_j) und dieser Ausdruck müsste dann ja gleich null sein, aber ich sehe nicht warum.

Für b) habe ich bisher auch noch gar keinen Ansatz.