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Aufgabe:Eine reelle quadratische Form ist definiert als Q(x) ≡ xTAx = xiAijxj mit Aij, xi ∈ R.

a) Zeigen Sie, dass der antisymmetrische Anteil der Matrix A keinen Beitrag liefert. Daraus folgt, dass A reelle Eigenwerte und orthogonale Eigenvektoren besitzt.

b) Seien vi die normierten Eigenvektoren von A = AT und α(i) die zugehörigen Eigenwerte, dann gilt A = α(i)viviT. Nutzen Sie die vi und α(i), um neue Koordinaten x′i = Bijxj (mit einer orthogonalen Basistransformation B) und Koeffizienten λ(i) zu bestimmen, sodass

Q'(x′) = λ(1)x′ 2 + λ(2)x′2 + . . . + λ(n)x′2

mit Q'(x') = Q(x)


Problem/Ansatz:

Für Aufgabe a) wäre mein Ansatz für die Matrix A ihren antisymmetrischen Anteil AA = 1/2(A - AT) und würde dann rausbekommen 1/2*(xi(Aij - Aji)xj) = 1/2*(Aijxixj - Ajixixj) und dieser Ausdruck müsste dann ja gleich null sein, aber ich sehe nicht warum.

Für b) habe ich bisher auch noch gar keinen Ansatz.

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