Aufgabe:
Sind f : V → W und g : W → Z lineare Abbildungen, so ist auch die
Verkettung f ◦ g : V → Z (mit (f ◦ g)(v) = f(g(v))) eine lineare Abbildung.
Problem/Ansatz:
Kann das wer beweisen? Meine bisherigen Ansätze:
Text erkannt:
\( f: V \rightarrow W \) und \( g: W \rightarrow C \) sind \( K \)-leineare fffildengen. sin \( f: V \rightarrow W \) gill: (Def II 1 )
(i) \( f(u+v)=f(u+f(v) \)
(ii) \( f(\alpha \cdot v)=a \cdot f(v) \)
fii \( g \circ f: V \rightarrow \) gill:
Text erkannt:
Definition \( 4.12 \) Seien \( X, Y, Z \) Mengen und \( f: X \rightarrow Y \) und \( g: Y \rightarrow Z \) Abbildungen. Dann heißt die Abbildung
\( \begin{aligned} g \circ f: X & \rightarrow Z \\ x & \mapsto g(f(x)) \end{aligned} \)
die Verkettung von \( f \) und \( g \). Also gilt \( (g \circ f)(x)=g(f(x)) \).
Beispiel: Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+}, x \mapsto f(x)=x^{2}+1 \) und \( g: \mathbb{R}_{0}^{+} \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+}, x \mapsto g(x)=\sqrt{x} \). Daraus folgt, dass gilt:
\( g \circ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+},(g \circ f)(x)=\sqrt{x^{2}+1} \)
Text erkannt:
Aufgabe 1 Beweisen Sie die Aussage aus Beispiel 6.3.(iv):
Sei \( K \) ein Körper, seien \( V, W, U K \)-Vektorräume und seien \( f: V \longrightarrow W, g: W \longrightarrow U \) \( K \)-lineare Abbildungen. Dann ist auch die Komposition \( g \circ f: V \longrightarrow U \) eine \( K \)-lineare Abbildung.
Text erkannt:
Definific \( \sqrt{\pi} 4 \) falls fofentes gill:
(i) \( f(u+v)=f(u)+f(v) \quad \forall u, v=V \)
(ii) \( f\left(\alpha_{\uparrow}, v\right)=\alpha_{v} f(v) \quad V_{v} \in V_{,}, \in t \)
Text erkannt:
\( V \times V \pm V \) ( geramt "Addition \( \left.{ }^{\circ}\right) \)
and
so dars folgendes gilf:
(i) \( \left(V_{1}+\right) \) iss rine abliche Gmype
(ii) \( \forall \alpha, \beta \in K \) und \( a, b \in V \) gill
\( \begin{array}{l} (\alpha+\beta) \cdot a=\alpha \cdot a+\beta \cdot a \\ a \cdot(a, b)=\alpha \cdot a+\alpha \cdot b \end{array} \)
(i:i) \( (\alpha \cdot \beta) \cdot a=\alpha_{i}(\beta \cdot a) \)
mullink
shalare \( \mu_{u} \) lf.
(iv) \( I \cdot a=\alpha \) firi das Einebblmont \( \mid \in K \) und \( \forall_{a} \in V \).
Text erkannt:
\( t i k \times k \rightarrow k \) (Addilition)
und \( : i k x \rightarrow k( \) Malijililation \( ) \) no dass \( \forall a, b, c \in k \) folgendes gill:
(i) \( (a+b)+c=a+(b+c) \) (Arrovalivitish der Hodilioin)
(ii) \( \exists 0 \in K \) mit \( 0+a=a=a+0 \) (newhales clement de toldinia)
(iii) \( \forall a \in k \exists b \in k \) mit \( a+b=0=b+a \) ( moese fientdoblifion)
(iv) \( a+b=b+a \) (conmunilatiiitit der Aoldifion)
(v) \( (a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c) \) (Kseoiativitial der Mullip)
(vi) \( \exists 1 \in k \) mil \( 1 \cdot a=a=a \cdot 1 \) (nucurales clement fin Multi)
(Vii) \( \forall a \in \underbrace{k-\{0\}}_{k^{*}} \exists b \in k \) mit \( b \cdot a=1=a \cdot b \) (hevers fin \( \mu u l \) lij)
(viii) \( a \cdot b=b \cdot a \) ( Kommm. dar. luad) )
(ix) \( a \cdot(b+c)=a \cdot c+b \cdot c \) und \( (a+b) c=a \cdot c+b \cdot c \) (Dihibakiogesta) \( \} \)
(x) \( 0 \neq 1 \)
Wir nemren dir Elemente Ound 1Nellelement und Einclelement oder harr Nall and Eins wan \( k \).
