Untersuchen, ob folgende Funktionen im Nullpunkt stetig oder stetig ergänzbar sind

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob folgende Funktionen im Nullpunkt stetig oder stetig ergänzbar sind.

(i) \( f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}} & \text { für }(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { für }(x, y)=(0,0)\end{array}\right. \),

(ii) \( f(x, y)=\frac{\log \left(1+|x y|^{n}\right)}{x^{2}+y^{2}} \) für \( x^{2}+y^{2}>0, n \in\{1,2\} \).

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe Probleme bei folgender Aufgabe: Hat jemand einen Ansatz für solch eine Aufgabe?

Mit freundlichen Grüßen
Casio

Comments

Tipp zu (i): Es ist \(f(x,x^2)=\frac12\) für alle \(x\ne0\).

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Tip zu ii ln(1+a)<=a   und ln(1+a)≈a für kleine a. dann y=ax

lul

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Vielen Dank für die Tipps.

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Lul worauf möchtest du mit diesem Ansatz hinaus? Ich habe jetzt versucht durch das Logarithmusgesetz aus: log(1+ |xy|ⁿ) folgendes zu machen: log(1)*log(|xy|ⁿ) zu machen. Und daraus wiederum das n vor den Logarithmus zu ziehen und anschließend \(\lim\limits_{x\to\ 0} \) f(x,x) zu berechnen. Dann komme ich nämlich darauf, dass der Grenzwert gegen 0 konvergiert.

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Die Rechenregel log(a+b)=log(a)*log(b) gibt es nicht.

Answer 1

ﹰﹰi) ﹰﹰﹰBetrachte die ﹰFolge der Punkte 1/n ; 1/n hoch2

da sind alle Funktionswerte gleich 0,5

 ﹰﹰgehenalso nicht gegen 0.

Also nicht stetig.