Zeigen, dass Funktionsreihen konvergieren

Question

Aufgabe:

Man zeige, dass
(a) die Funktionenreihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{1-x^{n}}-1\right) \) über dem Intervall \( \left[0, \frac{1}{2}\right] \) gleichmäßig konvergiert.
(b) die Funktionenreihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} n x e^{-n x^{2}} \) für \( x \in \mathbb{R} \) punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergiert.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das zeigen?

Comments

Ihr kennt das Weierstraß-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen?

Verwende bei a) die Erweiterung mit \(\sqrt{1-x^n}+1\)

Bei b) guck Dir den Summanden zunächst mal so an: \(xnq^n\) mit \(q:=\exp(-x^2)\)