Sei G = S3. Bestimmen Sie die Teilmengenrelation und Bestimmen Sie Z(G).

Question

Aufgabe:

Sei G = S₃ .

1) Bestimmen Sie die Teilmengenrelation
R = {(U, V ) | U =< G , V =< G , U =< V }
auf der Menge der Untergruppen von G und stellen Sie diese grafisch dar.

2) Bestimmen Sie Z(G).

Problem/Ansatz:

Ich hatte wirklich Schwierigkeiten, diese Fragen zu verstehen. Kannst du helfen?

Text erkannt:

Sei \( G=S_{3} \)
- Bestimmen Sie alle Untergruppen von \( G \).
- Bestimmen Sie die Teilmengenrelation
\( \mathcal{R}=\{(U, V) \mid U \leq G, V \leq G, U \leq V\} \)
auf der Menge der Untergruppen von \( G \) und stellen Sie diese grafisch dar.
- Bestimmen Sie \( Z(G) \).

Answer 1

Zu 1:
siehe https://mathepedia.de/S3.html

Zu 2:

\(Z(G)\) ist ein Normalteiler von \(S_3\), also eine der

Untergruppen \(\{id\}, A_3, S_3\). Da \(S_3\) nicht abelsch ist,

bleiben \(\{id\}\) und \(A_3\). Da aber auch alle Transpositionen

elementweise mit \(Z(G)\) vertauschbar sind, würde aus

\(Z(G)\subseteq A_3\) folgen, dass sogar \(Z(G)=S_3\)

sein müsste, Widerspruch.

Es bleibt \(Z(G)=\{id\}\).