Zu 1:
siehe https://mathepedia.de/S3.html
Zu 2:
\(Z(G)\) ist ein Normalteiler von \(S_3\), also eine der
Untergruppen \(\{id\}, A_3, S_3\). Da \(S_3\) nicht abelsch ist,
bleiben \(\{id\}\) und \(A_3\). Da aber auch alle Transpositionen
elementweise mit \(Z(G)\) vertauschbar sind, würde aus
\(Z(G)\subseteq A_3\) folgen, dass sogar \(Z(G)=S_3\)
sein müsste, Widerspruch.
Es bleibt \(Z(G)=\{id\}\).