Aufgabe 1
Wir fassen \( \mathbb{C} \) als \( \mathbb{R} \)-Vektorraum mit Basis \( \mathcal{V}:=(1, i) \) auf und definieren mithilfe der komplexen Multiplikation für \( z \in \mathbb{C} \) die \( \mathbb{R} \)-lineare Abbildung
\( f_{z}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, \quad w \mapsto z \cdot w \)
a) Geben Sie, in Abhängigkeit von \( z \), die Matrixdarstellung \( F_{z} \) von \( f_{z} \) bezüglich der Basis \( \mathcal{V} \) an.
b) Zeigen Sie, dass
\( F: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}^{2,2}, z \mapsto F(z)=F_{z} \) eine \( \mathbb{R} \)-lineare Abbildung ist.
c) Geben Sie die Matrixdarstellung \( A_{\mathcal{B}}^{\mathcal{V}} \) von \( F \) an, wobei
\( \mathcal{B}=\left(B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}\right)=\left(\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\right) . \)
d) Zeigen Sie, dass \( F \) injektiv ist.
Problem/Ansatz:
Alles :/
